רולטה וחינוך מתמטי
למה רולטה היא הכיתה הטובה ביותר שיש להסתברות, ואיך להשתמש בה בלי ללמד איש להמר.
שלושים ושבע תוצאות בעלות הסתברות שווה, תשלומים קבועים, אי־תלות, תוחלת שלילית ידועה ותיעוד אנושי ארוך של טעויות. רולטה מדגימה תוחלת, שונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ←, את חוק המספרים הגדוליםמתמטיקהחוק המספרים הגדוליםהממוצע של תוצאות בלתי תלויות מתכנס לתוחלת ככל שמספר הניסויים גדל.קראו את המאמר המלא ←, את כשל המהמר, בדיקת השערות ובעיית יום ההולדת טוב יותר ממטבעות או מקוביות.
למה רולטה
למטבע יש שתי תוצאות ולקובייה שש; שתיהן קטנות מכדי להראות את בעיית יום ההולדתמתמטיקהבעיית יום ההולדתכמה אנשים נחוצים לפני שסביר שלשניים מהם אותו יום הולדת, או כמה סיבובים לפני שסביר שמספר חוזר. בגלגל של 37 תאים, 8 סיבובים מספיקים לסיכוי העולה על חצי.קראו את המאמר המלא ← או מבחן חי־בריבועמעבדהמבחן חי־בריבועמבחן סטטיסטי המשווה בין פגיעות שנצפו בכל תא ובין n/37 הצפוי. משמש להעריך אם גלגל מוטה.קראו את המאמר המלא ← באופן דרמטי. לחפיסת קלפים יש זיכרון. ברולטה יש 37 תוצאות בעלות הסתברות שווה, תשלומי זכייה נטוכסףתשלום זכייה נטותשלום הזכייה נטו שהימור זוכה מעניק, המצוין כ־״X ל־1״ נוסף על החזרת סכום ההימור.קראו את המאמר המלא ← קבועים שהופכים את חישוב התוחלת לשורה אחת, אי־תלות לפי תכנון פיזי, ויתרון קטן דיו כדי להסתתר במפגש משחק וגדול דיו כדי לשלוט בשנה. יש לה גם מאתיים שנה של כשלים מתועדים שאפשר לנתח.
רצף שיעורים
ללמד בלי ללמד הימורים
השתמשו בכסף משחק ובמשחק ההדגמה, שאין בו סכומי הימור אמיתיים. התחילו ב־תוחלתמתמטיקהתוחלתהתוצאה הממוצעת לכל הימור בטווח הארוך. −1/37 מסכום ההימור בכל הימור אירופי רגיל.קראו את המאמר המלא ← וחזרו אליה: כל תרגיל מסתיים ב״והתוחלת היא −1/37 מסכום ההימור״. השתמשו בשיטות כדוגמאות נגדיות ולא כשיטות פעולה: התרגיל הוא למצוא את הפגם, והמדמה מציג את הפגם בתוך שניות. כללו את ההיסטוריה של אנשים שהפסידו. הלקח הוא שהחשבון מנצח, וזה ההפך מפרסומת.
תרגילים שעובדים
בקשו מהתלמידים לנבא כמה סיבובים עד לחזרה, ואז להפעיל את משחק ההדגמה עשר פעמים (בעיית יום ההולדת). בקשו מהם לכתוב ״שיטה״ בעורך האסטרטגיות ולהריץ 10,000 מפגשי משחק (ליניאריות התוחלת). בקשו מהם לחשב את ההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← לרצף של 1913 ואז לרצף שמתרחש במקום כלשהו בחמישים שנות מונטה קרלו (ההבדל בין אירוע מסוים לאירוע כלשהו). בקשו מהם למצוא את ה־תאציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← ה״מוטה״ בהיסטוריית סיבובים הוגנת ואז לערבב את הנתונים (השוואות מרובות).
למה זה נחרט
תלמידים זוכרים את 26 ה־שחוריםהימורשחורהימור ביחס שווה על 18 המספרים השחורים. בצרפתית: noir.קראו את המאמר המלא ←, את הגלגל של Jagger, ואת הרגע שבו המדמה הראה שהשיטה שלהם מפסידה. הסתברות מופשטת נשכחת עד הבחינה; גלגל לא. הקו האתי ברור: מלמדים את החשבון שהופך את המשחק להימור גרוע, באמצעות המשחק, והתלמידים שיהמרו מאוחר יותר לפחות ידעו מה המחיר.
שאלות
עם כסף משחק והבהרה מפורשת ש־יתרון הביתמתמטיקהיתרון הביתהחלק מכל סכום ההימור שהקזינו שומר בממוצע: 2.70% ברולטה אירופית.קראו את המאמר המלא ← הוא השיעור, תוכניות לימודים רבות כבר משתמשות בקוביות ובהגרלות; רולטה היא גרסה עשירה יותר של אותו דבר.
יתרון הבית, אחר כך משחק ההדגמה, ואז מדמה האסטרטגיות.
אין בו כסף אמיתי, חשבונות או קישורים למפעילים.
הפוגה קומית
שלושים ושבע תוצאות, יתרון אחד, מאתיים שנה של טעויות ללמוד מהן.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.