הסתברות לרצפים ברולטה
רצפים ארוכים של צבע אחד נפוצים. הם גם חסרי משמעות לסיבוב הבא.
חמישה אדומים ברצף: 2.7%. עשרה: 0.074%. לאורך מפגש משחק של 200 סיבובים, רצף של שישה מצבע אחד מופיע ברוב המקרים.
באיזו תדירות מגיע רצף הפסדים
הימור ביחס שווה על גלגל בעל אפס יחיד מפסיד 19 סיבובים מתוך 37. כל שורה מציגה את ההסתברות שרצף נתון של סיבובים יסתיים כולו בהפסד, ואת הסכום ששחקן מרטינגייל, שמכפיל אחרי כל הפסד, הפסיד עד אז.
| הפסדים ברצף | הסתברות | בערך 1 מתוך | הפסד עד כה | ההימור הבא |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
ההסתברות היא 19/37 כפול בעצמו פעם אחת לכל הפסד, החל מסיבוב נתון אחד. במפגש משחק ארוך יש סיבובים רבים שמהם יכול להתחיל רצף כזה, ולכן במהלך ערב הוא סביר הרבה יותר מכפי ששורה אחת מציעה.
רצף יחיד
ההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← ש־k הסיבובים הבאים יהיו כולם אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← היא (18/37)ᵏ. שניים: 23.7%. חמישה: 2.7%. עשרה: 0.074%, בערך 1 ל־1,350. עשרים: 1 ל־1.8 מיליון. עשרים ושישה, שיא מונטה קרלו: 1 ל־137 מיליון. אלו ההסתברויות של רצף מסוים שמתחיל בסיבוב מסוים, וזו שאלה שכמעט איש אינו שואל למעשה.
במפגש משחק
השאלה שאנשים מתכוונים אליה היא ״האם רצף של k יופיע במקום כלשהו במפגש המשחק שלי?״, והתשובה גדולה בהרבה מ־(18/37)ᵏ כי מפגש משחק של 200 סיבובים מציע כמעט 200 מקומות שבהם רצף יכול להתחיל. רצף של שישה או יותר מאותו צבע, אדום או שחורהימורשחורהימור ביחס שווה על 18 המספרים השחורים. בצרפתית: noir.קראו את המאמר המלא ←, מופיע במפגש של 200 סיבובים בערך ב־94% מהמקרים; שמונה או יותר בערך ב־47%; עשרה או יותר בערך ב־14%. אם מציינים את הצבע מראש, הסיכויים יורדים, לכ־75%, 27% ו־7%. שחקן שיושב ערב שלם יראה רצפים ארוכים בכל ערב.
מדוע מרטינגייל תלויה בזה
לכל התקדמות הימוריםאסטרטגיההתקדמות הימוריםכל כלל המשנה את סכום ההימור על סמך תוצאות קודמות. התקדמויות הימורים שליליות מעלות אותו אחרי הפסדים, חיוביות אחרי זכיות.קראו את המאמר המלא ← שלילית יש אורך רצף ששובר אותה: שישה הפסדים מבסיס של $10 ובמגבלה של $500, עשרה עבור פיבונאצ'יאסטרטגיהפיבונאצ'יהתקדמות הימורים העוקבת אחרי הרצף 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: צעד אחד קדימה אחרי הפסד, שני צעדים אחורה אחרי זכייה.קראו את המאמר המלא ←, חמישה להכפלה פי שלושה על תריסריםהימורתריסר1–12, 13–24 או 25–36, משלם 2:1.קראו את המאמר המלא ←. ההסתברות לרצף של שישה הפסדים בהימור ביחס שווה היא (19/37)⁶ ≈ 1.8% לכל ניסיון, ומפגש של 200 סיבובים כולל אולי 100 ניסיונות, לכן נקודת השבירה מגיעה בערך בארבעה מפגשים מתוך חמישה באורך הזה. ההסתברות לרצפים ברולטה היא הסיבה שהצוק אינו נדיר.
מספרים חמים וקרים
אותה אריתמטיקה חלה על הימורים על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ←. ב־300 סיבובים, הספירה הצפויה לכל מספר היא 8.1; סטיית התקןמתמטיקהסטיית תקןהשורש הריבועי של השונות; המרחק האופייני של תוצאה מהתוחלת.קראו את המאמר המלא ← היא בערך 2.8. מספר כלשהו יופיע 15 פעמים ומספר אחר 2 פעמים, רק במקרה, בכל פעם. לוח תוצאות שמדגיש מספרים ״חמים״ מדגיש את הקצה העליון של התפלגות נורמלית. המעבדה מסבירה כמה סיבובים נחוצים לפני של־מספר חםמיתוסמספר חםמספר שהופיע לאחרונה לעיתים קרובות מהצפוי. בגלגל הוגן הוא אינו מנבא דבר.קראו את המאמר המלא ← יש משמעות כלשהי (אלפים, מגלגל מזוהה אחד).
אי־תלות היא כל העניין
רצף של עשרה אדומים אינו הופך שחור לסביר יותר, וגם אינו הופך אדום לסביר יותר. שניהם 18/37. רצפים הם תכונה של סדרות אקראיות, והיעדרם היה חשוד: סדרה של 200 סיבובים בלי רצף ארוך מארבעה הייתה ראיה חזקה בהרבה להתערבות מאשר סדרה עם רצף של שנים־עשר.
נוסחה
שאלות
26 שחורים במונטה קרלו ב־18 באוגוסט 1913 הוא המפורסם. דווח על 32 אדומים ברצף בקזינו אמריקאי ב־1943. שניהם מתיישבים עם המקריות בהתחשב במספר הסיבובים שמריצים בתי קזינו.
ההסתברות היא 18/37 כך או כך. הימרו לפי התוכנית שלכם, או אל תהמרו.
לא. הטיה מתגלה בכך שכמה תאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← מופיעים לעיתים קרובות יותר לאורך אלפי סיבובים, לא כרצפים של צבע.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
כמה סיבובים של גלגל אירופי נדרשים, בממוצע, עד שכל אחד מ־37 המספרים עלה לפחות פעם אחת?
הצג את הפתרון
תשובה כ־155 סיבובים בממוצע; החציון הוא 147.
ספרו את ההמתנה, מספר חדש אחד בכל פעם. הסיבוב הראשון תמיד מציג מספר חדש. לאחר שראיתם מספר 1, 36 תאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← מתוך 37 הם חדשים, ולכן המספר החדש הבא דורש בממוצע 37/36 סיבובים. לאחר שראיתם k מספרים, הוא דורש 37/(37 − k).
חברו את ההמתנות: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 סיבובים.
רוב ההמתנה היא בסוף. המספר האחרון לבדו דורש בממוצע 37 סיבובים, וחמשת האחרונים כ־85. בגלגל אמריקאי אותו סכום נותן כ־161. זו בעיית אספן הקופונים; אותו ממוצע מתקבל גם מהחישוב התקני.
ב־37 סיבובים של גלגל אירופי, סיבוב אחד לכל תא, כמה מספרים שונים צפויים לעלות?
הצג את הפתרון
תשובה כ־23.6. בערך שליש מהמספרים, כ־13, אינם עולים כלל.
קחו מספר אחד, למשל 17. בכל סיבוב הסיכוי שהוא לא יעלה הוא 36/37, לכן הוא נעדר בכל 37 הסיבובים בהסתברות (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
לכל מספר אותו סיכוי, לכן בממוצע 37 × 0.363 ≈ 13.4 מספרים חסרים ו־37 − 13.4 ≈ 23.6 עולים, רבים מהם פעמיים או יותר.
שחקני רולטה מכנים זאת חוק השלישים. אין זה חוק, אלא החשבון של חזרות: ברצף שאורכו כגלגל, כשליש מהמספרים נעדרים, בגלגל הוגן כמו בכל גלגל אחר. ב־38 תאים החלק הוא (37/38)³⁸ ≈ 0.363 גם כן; בגלגל גדול הוא מתייצב סמוך ל־1/e ≈ 0.368.
חבר מציג לכם שתי רשימות של 50 צבעים, אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← או שחורהימורשחורהימור ביחס שווה על 18 המספרים השחורים. בצרפתית: noir.קראו את המאמר המלא ←, שלכאורה הגיעו מגלגל שהאפסיםגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← הוצאו ממנו. אחת מחליפה צבע 25 פעמים והרצף הארוך ביותר בה הוא שישה. האחרת מחליפה 35 פעמים ואין בה רצף ארוך משלושה. איזו מהן הומצאה?
הצג את הפתרון
תשובה השנייה. רשימה אמיתית מחליפה בערך 24 או 25 פעמים. רשימה עם 35 החלפות מופיעה בערך פעם אחת ב־500 רשימות, ורשימה ללא רצף ארוך משלושה מופיעה בערך פעמיים ב־100.
כל צבע חדש חוזר על הקודם או מחליף אותו, בחצי־חצי, לכן 49 הזדמנויות להחלפה נותנות בממוצע 24.5 החלפות, עם סטייה של כ־3.5. שלושים וחמישה גבוה בשלושה צעדים כאלה מהממוצע; גלגל הוגן מפיק כל כך הרבה החלפות בערך פעם אחת ב־500 רשימות.
הרצפים אומרים אותו דבר. ברשימה אמיתית של 50 יש רצף של ארבעה או יותר בכ־98% מהמקרים, והרצף הארוך ביותר הוא לרוב חמישה או שישה.
אנשים המתבקשים להמציא רשימה אקראית מחליפים לעיתים קרובות מדי, מפני שרצף של ארבעה או חמישה נראה להם כמו דפוס. Taylor (2021) מראה את אותו סימן ברשימות של הטלות מטבע שהמציאו תלמידים: אקראיות אמיתית רצפית יותר מכפי שאנשים מצפים.
ספר סיפורי קזינו מספר על שחקן שהמספר שלו עלה חמש פעמים ברצף ומכנה זאת שיא. עד כמה זה נדיר בגלגל אירופי? ובאיזו תדירות זה אמור לקרות במקום כלשהו בקזינו אחד עם 20 שולחנות, שכל אחד מסתובב 40 פעמים בשעה, יום ולילה?
הצג את הפתרון
תשובה מספר מסוים חמש פעמים ברצף: 1 ל־69 מיליון. כל מספר שעולה עוד ארבע פעמים לאחר הופעתו הראשונה: 1 ל־1.87 מיליון. אותו קזינו מבצע כ־7 מיליון סיבובים בשנה, לכן עליו לראות רצף של חמש שלוש או ארבע פעמים בשנה.
מספר מסוים עולה בהסתברות 1/37 בכל סיבוב, לכן חמישה ברצף הם בהסתברות (1/37)⁵ = 1 ל־69,343,957. אבל איש אינו מציין את המספר מראש. כל מספר שעולה ראשון, ארבעת הסיבובים הבאים חייבים לחזור עליו: (1/37)⁴ = 1 ל־1,874,161.
20 שולחנות × 40 סיבובים × 24 שעות × 365 ימים = 7,008,000 סיבובים בשנה. כל סיבוב יכול להתחיל רצף, לכן הקזינו מצפה ל־7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 רצפים של חמש בשנה.
אין שיא רשמי מסוג זה, ואין בו צורך: אירוע נדיר בשולחן אחד הוא שגרתי בפריסה של קזינו, והסיפורים מסופרים על השולחן שבו הוא התרחש. הסיפור, אצל Goldman (2007), מתרחש בגלגל עם אפס כפול, שבו הנתונים הם 1 ל־79 מיליון ו־1 ל־2.09 מיליון.
הפוגה קומית
כך נראית אקראיות ברצפים ארוכים.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.