התכנסות בטווח הארוך: חוק המספרים הגדולים ברולטה
כיצד הממוצע מתייצב לכיוון −2.70%, ומדוע זה נמשך זמן רב יותר מכפי שהאינטואיציה מציעה.
ההפסד הממוצע לסיבוב מתכנס ל־−1/37 ככל שהסיבובים מצטברים, עם פיזור המצטמצם כמו 1/√N. לאחר 1,000 סיבובים על אדום, הממוצע נמצא בדרך כלל בתוך ±3% מהתוחלת שלו.
חוק המספרים הגדולים
הממוצע המצטבר של הימורים בלתי תלויים נוטה לתוחלתמתמטיקהתוחלתהתוצאה הממוצעת לכל הימור בטווח הארוך. −1/37 מסכום ההימור בכל הימור אירופי רגיל.קראו את המאמר המלא ←. לאחר N סיבובים ביחס שווה, של יחידהכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← אחת, לתוצאה הממוצעת לסיבוב יש תוחלת של −1/37 וסטיית תקןמתמטיקהסטיית תקןהשורש הריבועי של השונות; המרחק האופייני של תוצאה מהתוחלת.קראו את המאמר המלא ← של 1/√N. ב־N = 100 הפיזור הוא 10% מסכום ההימור, כמעט פי ארבעה מהאות של 2.7%. ב־N = 1,000 הוא 3.2%, בערך כמו האות. ב־N = 10,000 הוא 1%, ויתרון הבית נראה בבירור. יתרון הבית אינו נראה במפגש משחק, וברור לחלוטין בשנה.
מה מתכנס ומה לא
הממוצע לסיבוב מתכנס. הסכום הכולל לא: הוא נסחף רחוק יותר מאפס ככל ש־N גדל, בערך ב־2.7% מ־N בתוחלת, עם פיזור של √N סביבו. שחקן ששיחק 10,000 סיבובים ב־$10 צפוי להיות בהפסד של $2,700, פלוס או מינוס $1,000. השיעור המצטבר של אדומיםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← התייצב מזמן ליד 48.65%; היתרה המצטברת לא התייצבה בשום מקום.
- p10 −$440
- p25 −$280
- חציון −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
מדוע האינטואיציה נכשלת
אנשים מצפים שיתרון הבית יופיע במהירות כי 2.70% נשמעים הרבה, ומצפים שרצפים ארוכים ״יתאזנו״ כי חוק המספרים הגדוליםמתמטיקהחוק המספרים הגדוליםהממוצע של תוצאות בלתי תלויות מתכנס לתוחלת ככל שמספר הניסויים גדל.קראו את המאמר המלא ← אומר שממוצעים מתכנסים. שתי האינטואיציות מעריכות לא נכון את קנה המידה: יתרון הבית קטן ביחס לשונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ← של סיבוב יחיד (σ = 1 יחידה מול EV = 0.027), ולכן נדרשים (1/0.027)² ≈ 1,400 סיבובים כדי שיהיה נראה ברמת סטיית תקן אחת. והתכנסות הממוצע אינה עושה דבר כדי למשוך את הסכום הכולל חזרה; היא רק מדללת תנודות עבר.
התכנסות להימורים אחרים
בהימורים על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← σ = 5.84, ולכן אותו חישוב נותן (5.84/0.027)² ≈ 47,000 סיבובים עד שיתרון הבית מגיע לסטיית תקן אחת. שחקן על מספר יחיד יכול לשחק שנים בלי שיתרון הבית יהיה מובחן מהמזל בתיעוד שלו עצמו, בעוד הוא משלם בדיוק אותם 2.70% כמו שחקן האדום שרואה אותו בתוך שבועות.
השלכה לבדיקת שיטות
מי שטוען ששיטה עובדת צריך להיות מסוגל להראות אותה על פני 10,000 סיבובים או יותר עם ממוצע חיובי מתועד. ב־1,000 סיבובים, ממוצע חיובי ביחס שווה הוא אירוע של אחד לחמישה תחת השערת האפס; ב־100 סיבובים הוא כמעט הטלת מטבע. המדמים באתר זה מריצים 2,000 מפגשי משחק באורך שבחרתם בשנייה, וזה יותר ראיות מכל עדות אישית.
נוסחה
שאלות
ההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← להיות שוב ביתרה חיובית יורדת לכיוון אפס ככל שמשחקים. הסכום הכולל נסחף מטה ללא גבול.
לא. פירושו שתנודות העבר נעשות חלק קטן יותר ממדגם גדול יותר.
ביחס שווה, בערך 10,000 לפני שיתרון הבית נראה בבירור. בהימורים על מספר יחיד, בערך 50,000.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
שני חברים משחקים 20 סבבים של משחק הוגןמתמטיקהמשחק הוגןמשחק שבו לאף צד אין יתרון: תוחלתו של כל הימור היא אפס.קראו את המאמר המלא ←, הטלת מטבע או אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← נגד שחורהימורשחורהימור ביחס שווה על 18 המספרים השחורים. בצרפתית: noir.קראו את המאמר המלא ← כשאפסיםגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← מוחזרים, ורושמים ניקוד מצטבר. ספרו את הסבבים שבהם כל אחד מוביל (תיקו נספר למי שהוביל מיד לפני כן). מה סביר יותר: שהיתרון מתחלק 10 סבבים ל־10, או שאחד החברים מוביל בכל 20 הסבבים?
הצג את הפתרון
תשובה שאחד החברים מוביל בכל 20 הסבבים סביר הרבה יותר: 35.2%, אם סופרים את שני החברים, לעומת 6.1% לחלוקה שווה של 10 ל־10.
הסיכוי שניקוד מצטבר הוגן יהיה בשוויון אחרי 2k סבבים הוא u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 אחרי 10 סבבים ו־0.176 אחרי 20. תוצאה קלאסית, חוק הקשת־סינוס, אומרת שהסיכוי שחבר מסוים יוביל בדיוק ב־2k מתוך 2n סבבים הוא u(2k) × u(2n − 2k).
הובלה בכל 20 הסבבים: u(20) × u(0) = 0.176 לכל חבר, 35.2% לאחד משניהם. חלוקה שווה: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, החלוקה הפחות סבירה מכולן.
לכן במשחק הוגן ההובלה מחליפה ידיים לעיתים רחוקות. שחקן שהיה ביתרון כל הערב, או בפיגור כל הערב, לא ראה דבר חריג, ואין בכך לומר דבר על הגלגל או על מיומנות. Epstein (2013) מציג את אותו חוק למשחקים ארוכים יותר: במחצית מהזמן הצד בעל המזל מוביל ביותר מ־85% מהמשחק.
הפוגה קומית
הממוצע מתכנס. הסכום הכולל פשוט מתרחק.
מקורות
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.