סיכון לפשיטת רגל
ההסתברות לאבד את כל תקציב המשחק לפני הגעה ליעד.
בהימורים ביחס שווה, סיכון לפשיטת רגל נקבע לפי נוסחת פשיטת הרגל של המהמר. עם תקציב משחק של $500, הימורים של $10 ויעד של $600, מגיעים ליעד בערך ב־57% מהמקרים ופושטים רגל בכל היתר.
השאלה
יש לך a יחידותכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← של תקציב משחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← ואתה רוצה להגיע ל־a + b יחידות, בהימור של יחידה אחת בכל פעם על הימור ביחס שווההימורהימור ביחס שווהאדום/שחור, אי־זוגי/זוגי, גבוה/נמוך. 18 מספרים, משלם 1:1.קראו את המאמר המלא ← עם הסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← זכייה p = 18/37 והסתברות הפסד q = 19/37. מה הסיכוי להגיע ליעד לפני שמגיעים לאפס? את התשובה פיתחו Pascal, Fermat ו־Huygens בשנות ה־1650, והיא אחת התוצאות העתיקות ביותר בהסתברות.
נוסחת פשיטת הרגל של המהמר
P(הגעה ליעד) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). סיכון לפשיטת רגלמתמטיקהסיכון לפשיטת רגלההסתברות להפסיד את כל תקציב המשחק לפני הגעה ליעד או למספר סיבובים.קראו את המאמר המלא ← הוא אחת פחות מכך. כאשר q/p = 19/18 ≈ 1.0556, היחס גדל מעריכית במספר היחידות, ולכן הנוסחה מענישה יחידות קטנות בחומרה: ככל שנדרשים יותר הימורים כדי להגיע ליעד, כך משלמים יותר פעמים בדרך את האגרה של 2.70%.
איך לקרוא זאת
יחידות קטנות יותר פוגעות. ניסיון להכפיל $500 בהימורים של $10 מצליח ב־6% מהמקרים; בהימור יחיד של $500 הוא מצליח ב־48.6% מהמקרים. משחק נועז, עם פחות הימורים וגדולים יותר, ממקסם את הסיכוי לפגוע ביעד במשחק בעל תוחלת שלילית, משום שהוא ממזער את מספר הפעמים שיתרון הבית חל. הוא גם ממקסם את השונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ← של מה שקורה לך, ומסיים את הערב במהירות. המשפט נקרא ״משחק נועז הוא מיטבי״, והוא הוכח בידי Dubins ו־Savage ב־1965.
היכן התחילה הבעיה
השאלה עתיקה מרולטה. ב־1656 הציג Pascal ל־Fermat חידה: שני שחקנים מטילים שלוש קוביות, כל אחד מתחיל עם 12 אסימונים; הטלה של 11 מעבירה אסימון לכיוון אחד, והטלה של 14 לכיוון האחר. שניהם פתרו אותה, ו־Huygens, ששמע עליה במכתב מהמתמטיקאי Pierre de Carcavi, הדפיס אותה ב־1657 כבעיה החמישית בספר הראשון על הסתברות, עם התשובה וללא הוכחה. אפשר להטיל אחת־עשרה ב־27 דרכים וארבע־עשרה רק ב־15, לכן כל אסימון נע בכיוון השחקן הראשון 9 פעמים מתוך 14, והנוסחה שלעיל, עם 12 אסימונים לכל אחד, עושה אותו בערך פי 1,157 סביר יותר לזכות בכול מאשר לאבד הכול. יתרון של 2.70% קטן בהרבה, אך אותה נוסחה מראה מה הוא עושה לאורך הימורים רבים.
הימור נועז אמיתי
באפריל 2004, Ashley Revell, אנגלי צעיר, מכר כמעט כל מה שהיה בבעלותו, כולל בגדיו, ולקח $135,300 אל Plaza בלאס וגאס. אחרי כמה הימורים קטנים, הוא הניח את כל הסכום על אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ←, פעם אחת. הכדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← נחת על אדום 7 והוא יצא עם $270,600. בגלגל בעל אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← כפול, לסיבוב היחיד הזה הייתה הסתברות של 47.37% והוא עלה לו בממוצע $7,121, יתרון של 5.26% על הימור אחד. אילו פיזר את הסכום על הימורים של $10, אותו יעד היה קרוב לחסר תקווה. משחק נועז אינו הופך את ההימור לטוב; הוא מקצר אותו ככל האפשר.
סיכון לפשיטת רגל ללא יעד
אם פשוט משחקים עד שפושטים רגל או עוצרים אחרי N סיבובים, השאלה נעשית ״מה הסיכוי שתקציב המשחק שלי ייגע באפס בתוך N סיבובים?״. אין נוסחה סגורה ל־N כללי, אך המדמים באתר זה מחשבים אותה: תקציב משחק של $500 עם $10 על אדום כמעט לעולם אינו פושט רגל ב־100 סיבובים (פחות מ־1%), פושט רגל בערך ב־9% מהמקרים ב־500 סיבובים, ובערך ב־95% מהמקרים ב־5,000. ללא כלל עצירה, ההסתברות נוטה ל־100%, וזו הגרסה לטווח ארוך של יתרון הביתמתמטיקהיתרון הביתהחלק מכל סכום ההימור שהקזינו שומר בממוצע: 2.70% ברולטה אירופית.קראו את המאמר המלא ←.
- p10 −$500
- p25 −$500
- חציון −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
לכמה זמן, וכמה קדימה
שתי תוצאות קלאסיות נוספות עונות על שאלות ששחקנים באמת שואלים. ללא יעד, הימורים קבועים ביחס שווה נמשכים בממוצע 37 סיבובים לכל יחידת תקציב משחק בגלגל אירופי ו־19 בגלגל אמריקאי, כי כל סיבוב לוקח בממוצע 1/37 יחידה (1/19 בגלגל אמריקאי): 100 יחידות נמשכות בממוצע 3,700 סיבובים, אף שמחצית ממפגשי המשחק האלה מסתיימים בתוך 3,134 (ראו אורך מפגש משחק ועלותו). וללא קשר לגודל תקציב המשחק, הסיכוי בגלגל אירופי להיות אי פעם k יחידות קדימה הוא (18/19)ᵏ. זה 95% ליחידה אחת ו־58% לעשר, אך שום תקציב משחק, עמוק ככל שיהיה, אינו נותן סיכוי שווה להיות אי פעם 13 יחידות למעלה; בגלגל אמריקאי הסיכוי הוא (9/10)ᵏ ויורד מתחת למחצית ב־7 יחידות.
תקציב משחק לסיכוי של חצי־חצי
הפכו את השאלה: כמה יש להביא כדי לקבל לפחות סיכוי של חצי־חצי לזכות בסכום נתון לפני שמאבדים הכול? עבור זכייה קטנה, לא הרבה. עבור זכייה גדולה יותר, תקציב המשחק הדרוש מטפס בתלילות, ומעבר לנקודה מסוימת שום תקציב משחק אינו מספיק, כי אפילו תקציב אינסופי נותן פחות מסיכוי של חצי־חצי להגיע אי פעם כל כך קדימה. Taylor (2021) מנסח זאת אחרת: בגלגל אמריקאי, כדי לקבל סיכוי של חצי־חצי להגיע ל־100 יחידות צריך להתחיל עם 94, תוך סיכון של 94 כדי לזכות ב־6. בגלגל אירופי יידרשו 88.
הלקח המעשי
החליטו מה אתם מנסים לעשות. אם המטרה היא זכייה מסוימת, הימרו מעט הימורים גדולים. אם המטרה היא ערב ארוך, הימרו מעט וקבלו שיתרון הבית ייקח את 2.70% שלו מ־מחזור הימוריםכסףמחזורהסכום הכולל שהומר במשך מפגש משחק או תקופה, כולל זכיות שהומרו מחדש. נקרא גם handle, action.קראו את המאמר המלא ← גדול. אם המטרה היא שניהם, משהו צריך להישבר, ובדרך כלל זה היעד.
נוסחה
שאלות
מרטינגיילאסטרטגיהמרטינגיילהתקדמות הימורים המכפילה את ההימור אחרי כל הפסד. ראו בפרק האסטרטגיה מה היא עושה ומה אינה עושה.קראו את המאמר המלא ← מפחיתה אותו במפגשי משחק קצרים ומגדילה אותו מאוד בארוכים. הימור קבועאסטרטגיההימור קבועהימור על אותו סכום בכל סיבוב. קו הבסיס שכל התקדמות הימורים מושווית אליו.קראו את המאמר המלא ← ביחידה גדולה יותר הוא הדרך הכנה להפחית אותו.
הנוסחה שלעיל היא ליחס שווה. בהימורים בעלי שונות גבוהה פשיטת רגל סבירה יותר בסכומי הימור קטנים, והיעד מושג באופן קופצני יותר; השתמשו במחשבון.
כל צעד לעבר היעד סביר מעט פחות מכל צעד לעבר פשיטת הרגל; היחס מצטבר על פני מספר הצעדים.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
יש לך $100 ואתה רוצה $1,000, בהימור על אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← בלבד. תוכנית אחת: להמר $1 בכל פעם. תוכנית שתיים: להמר על כל מה שיש לך עד שעוברים $500, ואז רק את הסכום הדרוש להגיע ל־$1,000. איזו תוכנית טובה יותר, ובכמה?
הצג את הפתרון
תשובה תוכנית שתיים, ובפער גדול. היא מגיעה ל־$1,000 בכ־9.0% מהמקרים, קרוב ל־10% ההוגנים. תוכנית אחת מצליחה בערך 7 פעמים מתוך 10²².
במשחק הוגןמתמטיקהמשחק הוגןמשחק שבו לאף צד אין יתרון: תוחלתו של כל הימור היא אפס.קראו את המאמר המלא ← היית מגיע מ־$100 ל־$1,000 פעם אחת מעשר, בלי תלות במה שהיית עושה, מפני שהערך הממוצע של הכסף שלך נשאר $100.
יתרון הבית לוקח 2.70% מכל הימור, לכן ככל שסך ההימורים קטן יותר, כך נשארים קרובים יותר לאחת מעשר. תוכנית שתיים מכריעה את הדבר בקומץ הימורים: $100 נעשים $200, $400, $800, ואז די ב־$200. היא מצליחה בכ־9.0% מהמקרים. תוכנית אחת דורשת אלפי הימורים לפני שההליכה מסתיימת, ויתרון הבית, קטן בכל אחד מהם, מצטבר לכמעט פשיטת רגל ודאית.
זו תוצאת Dubins–Savage בצורתה הפשוטה ביותר (Epstein, 2013): במשחק המעדיף את הבית, מהמרים כמה שצריך, כמה שפחות פעמים.
יש לך $500 ואתה רוצה $1,000, ועוצר ברגע שהגעת אליהם. אתה בוחר סוג אחד של הימור וחוזר עליו עד שהוא זוכה פעם אחת או שהכסף נגמר. איזה סוג נותן את הסיכוי הטוב ביותר?
הצג את הפתרון
תשובה הימור אחד של $500 על אדום: 48.6%. כל תוכנית שמפזרת את הכסף על פני הימורים קטנים יותר גרועה מכך.
בחר כל סכום הימור כך שזכייה אחת תספיק: $30 על הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← זוכים ב־$1,050, $60 על הימור מפוצלהימורהימור מפוצלשני מספרים סמוכים, משלם 17:1.קראו את המאמר המלא ← זוכים ב־$1,020, וכן הלאה. אחר כך סופרים את הסיכוי שלפחות הימור אחד יזכה לפני שהכסף נגמר. שישה עשר הימורים על מספר יחיד של $30 מפסידים כולם בהסתברות (36/37)¹⁶ = 64.5%, ולכן מגיעים ל־$1,000 ב־35.5% מהמקרים.
הטבלה מציגה כל הימור. אדום הוא הטוב ביותר כי מגיעים ליעד בהימור אחד, ולכן יתרון הבית משולם פעם אחת, על $500. ההימור שתי שורותהימורהימור שתי שורותשישה מספרים בשתי שורות סמוכות, משלם 5:1. בצרפתית: sixain.קראו את המאמר המלא ← שני כי דרושים לו רק שלושה. הימור תריסרהימורתריסר1–12, 13–24 או 25–36, משלם 2:1.קראו את המאמר המלא ← יחיד הוא הגרוע ביותר, סיכוי של 12/37; אפילו כאשר משחקים בו ביחידותכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← של $250 עד שיש $1,000 או יותר, התריסר מגיע לשם רק ב־46.4% מהמקרים.
Bollman (2024) בונה אותה טבלה עבור גלגל אמריקאי. בשורת התריסר שלו יש טעות: היא צריכה להיות 12/38 = 31.6%.
הימורסכום הימור × מספר הימוריםסיכוי להגיע ל־$1,000הימור על מספר יחיד$30 × 1635.5%הימור מפוצל$60 × 835.9%הימור שורה$90 × 534.5%הימור פינה$125 × 436.7%הימור שתי שורות$166, $166, $16841.2%תריסר$500 × 132.4%אדום$500 × 148.6%אתה מהמר יחידה אחת על אדום, סיבוב אחר סיבוב, עם תקציב משחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← שלעולם אינו נגמר. אחרי הסיבוב הראשון אתה יחידה אחת ברווח או יחידה אחת בהפסד. מה הסיכוי שאי פעם תחזור בדיוק לאיזון?
הצג את הפתרון
תשובה 36 מתוך 37, 97.3%. בגלגל אמריקאי 36 מתוך 38, 94.7%.
אם הסיבוב הראשון זוכה (18 פעמים מתוך 37), אתה יחידה אחת ברווח, ויתרון הבית גורר כל מפגש משחק אינסופי כלפי מטה, לכן במוקדם או במאוחר תעבור שוב דרך האיזון: זה ודאי. אם הוא מפסיד (19 פעמים מתוך 37), אתה צריך לטפס יחידה אחת, והסיכוי להיות אי פעם יחידה אחת ברווח הוא 18/19 (ראו את הטבלה למעלה).
יחד: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
באופן כללי הסיכוי הוא 1 פחות הפער בין הסיכויים לזכות ולהפסיד בסיבוב: 1 − 1/37 בגלגל אירופי, 1 − 2/38 בגלגל אמריקאי. במשחק ללא אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← הפער הוא אפס והסיכוי הוא 1: הניקוד תמיד חוזר לאיזון. Epstein (2013) נותן את הכלל הכללי.
חידת Pascal מ־1656: שני שחקנים מטילים שלוש קוביות, כל אחד מתחיל עם 12 מונים. בכל תוצאה של 11 מונה עובר לשחקן הראשון, ובכל תוצאה של 14 אחד עובר לשני; תוצאות אחרות אינן נספרות. מה הסיכוי שהשחקן הראשון יזכה בכל 24? ואם במקום זאת תהמר 1 יחידה על אדום בכל סיבוב נגד חבר הפועל כבנק, 12 יחידות לכל אחד, מה הסיכוי שתזכה בכל 24?
הצג את הפתרון
תשובה השחקן הראשון זוכה בערך 1,157 פעמים מתוך 1,158. אתה, על אדום, זוכה בכל 24 היחידות רק בכ־34% מהמקרים.
שלוש קוביות נותנות 11 ב־27 דרכים ו־14 ב־15 דרכים, לכן כל מונה שעובר עובר לשחקן הראשון 27 פעמים מתוך 42, כלומר 9 פעמים מתוך 14. כשכל צד מתחיל ב־12, הסיכוי לקחת הכול הוא 1/(1 + r¹²), כאשר r הוא יחס הסיכוי של הצד האחר לשלך.
עבור השחקן הראשון r = 5/9, ו־(5/9)¹² ≈ 0.00086, לכן הסיכוי הוא כ־0.99914: יחס של 9¹² ל־5¹², או 282,429,536,481 ל־244,140,625, בערך 1,157 ל־1. Huygens הדפיס בדיוק את המספרים האלה ב־1657.
באדום, r = 19/18 בגלל האפס, ו־(19/18)¹² ≈ 1.913: הסיכוי שלך הוא 1/2.913 ≈ 34.3%. מטבע היה נותן 50%. יתרון הבית של 2.70% בכל הימור מצטבר, לאורך ההימורים הרבים הנדרשים, לפער של 16 נקודות.
הפוגה קומית
משחק נועז הוא מיטבי. הוא גם נגמר מהר.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”