The Eudaemons
סטודנטים לפיזיקה, גלגל קזינו שנקנה במזומן ומחשב קטן דיו ללבישה ליד השולחן.
בשנים 1976 עד 1981 קבוצה של סטודנטים לפיזיקה מ־Santa Cruz בנתה מחשבים דיגיטליים שתזמנו את הכדור ואת הרוטור וציינו מקטע בגלגל בזמן שההימורים עוד היו פתוחים. הבדיקות שלהם הבטיחו יתרון של 44%, ומפגש משחק ארוך ראשון הניב כ־25%. החומרה המשיכה להיכשל, הגרסה שנבנתה בתוך נעל הובסה ב־1981 בידי רעש חשמלי, והם זכו בכמה אלפי דולרים.
תחושת בטן בבר ב־Las Vegas, 1975
בקיץ 1975 בילה Norman Packard, סטודנט לפיזיקה, חודשיים בספירת קלפים בבלק ג'ק ב־Las Vegas עם חברו Jack Biles, ובקושי הגיע לאיזון. במשקה אחרון אמר Biles שהיה מתערב שאפשר לגבור על רולטה בעזרת פיזיקה, ו־Packard נזכר בשורה סתומה בספר Beat the Dealer של Edward Thorp על שיטה לרולטה. השניים שאלו מכשיר הקלטה, עמדו ליד גלגלים בכמה קזינואים וטפחו על המיקרופון בכל פעם שה־כדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← עבר נקודה קבועה. כשהטפיחות שורטטו על נייר גרפי, הן הראו שהכדור מאט ונופל באופן סדיר. חברו ללימודים של Packard, Doyne Farmer, תלמיד מחקר ב־University of California, Santa Cruz, כינה זאת בזבוז זמן עד שעשה את החשבון בעצמו: אדם שיכול לתזמן את הכדור בדיוק של כעשירית השנייה אמור להיות מסוגל, על הנייר, לומר היכן ייפול עד לטווח של כמה מספרים.
גלגל במעבדת הפיזיקה
באביב 1976 שילמו Farmer ו־Dan Browne $1,500 במזומן עבור גלגל קזינו משופץ בסדנה ב־Reno, ואמרו שהוא למסיבת אחווה. במשך חודשים הם נשאו אותו בלילה למעבדת ההוראה של האוניברסיטה ומדדו אותו בחיישני אינפרא־אדום, שעון אלקטרוני תוצרת בית ומצלמה שהופעלה מצליל הכדור הפוגע במתכת. מה שמצאו הוא עדיין רשימה טובה וקצרה של מה שחשוב בסיבוב. האוויר גורם לרוב ההאטה, יותר מן המסילה. גלגל שאינו מאוזן אפילו בעשירית אינץ' משנה את המקום שבו הכדור עוזב את המסילה, ובגלגל נטוי הכדור נוטה לרדת מן המסילה בצד הגבוה, מה שמקל על החיזוי. כדורים שונים זה מזה: כדור טפלון האט פי שניים מכדור מחומר מרוכב של כדור ביליארד. ואחרי שהכדור עזב את המסילה הוא עדיין קופץ, בממוצע לא יותר מרבע עד שליש סיבוב. הקפיצה הזאת הייתה השאלה שכל התוכנית הייתה תלויה בה, והיא לא הייתה רחבה דיה כדי למחוק את החיזוי. בסוף הקיץ העריכו את היתרון האפשרי ב־44%, המספר שנתן Thorp למכשיר שלו.
החברה והעוגה
הם קראו למיזם Eudaemonic Enterprises, על שם מילה יוונית לאושר של חיים המנוהלים בתבונה. כל מי שעבד בו אמור היה לקבל תשלום מזכיות עתידיות ביחס לשעות שהשקיע: פרוסה ממה שכינו Eudaemonic Pie. הזכיות נועדו לממן קהילת חברים שעושים מדע בתנאים שלהם.
מחשב מתחת לזרוע, 1976–1978
המכונה הראשונה צמחה ממחשב ערכה שהגיע בדואר בספטמבר 1976 תמורת $250, ובנוי על מעבד 6502 שגם מחשבי Apple השתמשו בו. Farmer, שמעולם לא תכנת קודם, כתב לתוכו את המשוואות של הכדור ושל ה־רוטורציודרוטורהחלק המסתובב של הגלגל הנושא את התאים.קראו את המאמר המלא ←. גרסת הקזינו נלבשה קשורה לגוף, מתחת לזרוע או, אצל הנשים, בחזייה. השחקן ליד הגלגל הקליק מתגים בבוהנות הגדולות: בוהן אחת סימנה את ה־אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← ואז את הכדור בכל פעם שעברו נקודה קבועה, והאחרת העבירה את התוכנית בין הגדרותיה. התאמת התוכנית לגלגל מסוים ארכה כעשרים דקות של הקלקות שקטות. אחר כך, כמה שניות בתוך כל סיבוב, המחשב ציין אחד משמונה מקטעיםגלגלמגזרקשת רצופה של תאים בגלגל, בשונה מקבוצה על הפריסה.קראו את המאמר המלא ← בגלגל, או סימן ״לא להמר״, בעזרת זמזום של בוכנות קטנות כנגד העור. שחקן שני בהמשך השולחן, המקושר באות רדיו חלש, הרגיש אותו זמזום וכיסה שלושה או ארבעה מספרים של אותו מקטע, ולפעמים החליף במספר הסמוך לו בגלגל כדי שהדפוס יהיה קשה יותר לקריאה.
הנסיעה הראשונה, ל־Lake Tahoe ול־Reno בדצמבר 1977, הייתה כישלון ציוד מתמשך. כמה שבועות אחר כך, ב־Golden Gate במרכז Las Vegas, Farmer שיחק לבדו ארבע שעות וחצי בעשרה סנט ל־אסימוןכסףאסימוןאסימון המייצג סכום קבוע, המונח על הפריסה כדי לבצע הימור. נקרא גם check.קראו את המאמר המלא ←. הרווח היה קטן, אבל לאורך כמה מאות סיבובים הוא ו־Browne העמידו את היתרון, בזהירות, על 25%.
קיץ 1978
באותו קיץ שיחקה הקבוצה במשמרות במשך שבועות, במרכז העיר ובסטריפ, שני מפגשי משחק ביום ולעולם לא באותו קזינו בלילות רצופים. הם ניהלו מחברת על כל קזינו: הגלגלים שלו וכמה יצאו מאיזון, הצוות שלו, חילופי המשמרות. התברר שגלגלי Las Vegas היו נטויים במידה שהועילה להם, ושמשחקי הלילה המאוחרים היו אטיים, וזה מה שהמחשב נזקק לו, מפני שרוטור אטי וכדור מהיר משאירים יותר זמן למדוד ולהמר. היו לילות טובים. ב־Circus Circus החלפת קרופייהאנשיםקרופייההדילר בשולחן רולטה.קראו את המאמר המלא ← בשתיים בלילה הפכה מפגש מפסיד לכמה מאות דולרים ב־25 סנט לאסימון. והייתה סדרת כישלונות קבועה: חוטים רופפים, קישורי רדיו שנסחפו עם הטמפרטורה, התחשמלויות מחוטי האנטנה שתפרו בחולצותיהם. לילה אחד הבוכנות נתקעו, החיווט התחמם יתר על המידה, ו־Ingrid Hoermann המשיכה לשחק למרות כוויה במקום לעזוב שולחן מנצח. עובדי הקזינו שמו לב לזכיות ולעולם לא לשיטה; פעם קרופייה, שהתעצבנה מערמת אסימונים הולכת וגדלה, אחזה בגלגל המסתובב וסובבה אותו בכוח.
בשלושה עשר חודשים ערכו שמונה נסיעות ל־Nevada, והימרו בעיקר במטבעות של עשרה ועשרים וחמישה סנט, וזכו בכמה אלפי דולרים. מפגש משחק ב־California Club בדצמבר 1978 הניב יותר מ־$1,000 בשלוש שעות ושכנע אותם שהשיטה ראויה לחומרה טובה יותר.
Packard ו־Biles מתזמנים כדורי רולטה במכשיר הקלטה ב־Las Vegas.
גלגל קזינו נקנה ב־Reno; קיץ של מדידות; מחשב הערכה הראשון.
נסיעה ראשונה לקזינו, Lake Tahoe ו־Reno. הציוד נכשל.
Golden Gate, Las Vegas: ארבע שעות וחצי בהימורים של עשרה סנט, היתרון הוערך ב־25%.
שבועות של משחק ב־Las Vegas כשהמחשב נלבש על הגוף.
California Club: יותר מ־$1,000 בשלוש שעות.
המחשב נבנה מחדש כדי שייכנס לתוך נעל.
Las Vegas: רעש חשמלי מציף את קישור הרדיו. הפרויקט נפסק.
Nevada מוציאה מחוץ לחוק מכשירי חיזוי. The Eudaemonic Pie מתפרסם.
המחשב בנעל, 1980–1981
כדי להוריד את החוטים מגופם החליטו להכניס הכול לנעליים. Mark Truitt, בוגר חדש בפיזיקה שיצא מראיון עבודה עבור מכ״ם צבאי, השקיע בכך שנה וחצי. הרעיון שאפשר את ההתאמה הגיע מטכנאי באוניברסיטה: לכבות את המחשב בין חיזויים, וכך נדרשות הרבה פחות סוללות. Truitt הניח את השבבים על שני לוחות מעגלים שצרב בעצמו, הפך אחד מעל האחר ומילא את המרווח בשעווה קשה, וכך יצר גוש בגודל של כשני אינץ' על ארבעה ובעובי חצי אינץ', שאפשר לדרוך עליו. הסוללות, האנטנה ושניים משלושת הזמזמים נכנסו לעקב. שלושה זמזמים בשלוש מהירויות נתנו תשעה סימנים: שמונה מקטעים ו״לא להמר״. סנדלר רוקן את פנים נעלי העור הרגילות ולא שאל שאלות.
בנובמבר 1981 לקחו Farmer והסופר Thomas Bass את הנעליים ואת $2,500 ל־Las Vegas. בשולחן הראשון החיזוי הראשון פגע, ואז הזמזמים החלו לפעול באקראי. הקזינואים מלאים רעש חשמלי, ממצלמות מעקב, שלטי ניאון ומכונות מזל, והוא הציף את קישור הרדיו החלש בין הנעליים; גם מכשיר טלוויזיה בחדר המוטל עשה אותו הדבר. ימים של תיקונים בידי ארבעה אנשים לא פתרו זאת, והפרויקט נעצר שם. הציוד הוכנס לארגז במרתף ב־Santa Cruz.
מה פירוש 44%
בגלגל אמריקאי הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← זוכה בממוצע פעם אחת ב־38 סיבובים ומשלם 35 ל־1, ולכן עולה לשחקן 5.26%. יתרון של 44% הוא מה ששווה אותו הימור כשהוא זוכה פעם אחת ב־25 סיבובים: 36 אסימונים חוזרים על כל 25 שהונחו. לכן המחשב מעולם לא נדרש לדעת את המספר. הוא נדרש לגרום למספרים שבחר לצאת בערך פי אחד וחצי יותר מן התדירות שהמקרה מאפשר.
מדוע יתרון גדול עדיין הרגיש כמו הימורים
יתרון ביחס 35 ל־1 משלם לאט ולא באופן אחיד. אחד מיועצי הקבוצה הזהיר ששחקן המניח $100 על מספר יכול להיות בהפסד של $10,000 או $20,000 לפני שהיתרון יתגלה, והחשבון מסכים: עם יתרון של 44% על מספרים יחידים, שחקן עדיין מפסיד אחרי 100 סיבובים כמעט פעם אחת מתוך ארבע. לכן The Eudaemons התחילו במטבעות של עשרה סנט ובנו את תקציב המשחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← שלהם מזכיות, ולכן Alan Lewis, שהצטרף אליהם ב־1978, הקדיש את זמנו לכמה להמר. Farmer חשב אחר כך שהיו זהירים מדי. סכומי הימור קטנים שמרו עליהם, והם גם גרמו לכך ששנים של עבודה הרוויחו מעט מאוד.
מה זה עלה ומה זה הניב
כ־$15,000 הושקעו בחלקים, כלים ושכרו של Truitt, רובם מ־Farmer ומ־Letty Belin, עורכת דין שנישאה לו אחר כך. לזכות Farmer נרשמו 3,500 שעות עבודה, ל־Truitt 3,000 ול־Packard 2,000. מולן עומדים כמה אלפי הדולרים שזכו בהם בסכומי הימור קטנים. ב־1983 פרסם Farmer מודעה במגזין הימורים לחיפוש משקיעים, ותיאר אב־טיפוס עם יתרון קזינו מוכח של 20 עד 40%. כש־The Eudaemons שיחקו, החיפוש של Belin בחוקי Nevada לא מצא דבר האוסר לחזות משחק; במאי 1985 המדינה הפכה שימוש במכשיר לשם כך לעבירה. מה שנשאר היה המדע. בניית המחשבים הכשירה את Farmer, Packard וחבריהם לחקר הכאוס, שבו התפרסמו.
קריאת הספר כיום
Thomas Bass, שהניח את ההימורים בנסיעה האחרונה, סיפר את הסיפור ב־The Eudaemonic Pie (1985), המבוסס על ראיונות ארוכים עם הקבוצה, והוא המקור לדף זה. ההיסטוריה הקצרה שלו על רולטה בטוחה פחות מתיאור הפרויקט. הוא חוזר על הסיפור על ששת הפקידים ששכר Jagger, שמקורו בספר מ־1901 ולא מעבר לו (ראו Joseph Jagger), וממקם את מבחן הקזינו של Thorp ו־Shannon ב־1962, בעוד תיאורי Thorp עצמו אומרים קיץ 1961.
שאלות
לא. הם זכו בכמה אלפי דולרים בהימורים של עשרה ועשרים וחמישה סנט, והוציאו כ־$15,000 ואלפי שעות רבות.
כשהם שיחקו, ב־Nevada לא היה חוק נגד חיזוי משחק באמצעות מכשיר. יש חוק כזה מאז 1985, וכיום ברוב המקומות שיש בהם קזינואים יש כזה.
לא במקום שבו ההימורים נסגרים עם שיגור הכדור, כפי שקורה באולפנים חיים, ונשיאת מכשיר כזה לקזינו היא עבירה ברוב תחומי השיפוט.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
The Eudaemons חישבו שהמחשב שלהם שווה 44% על הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← בגלגל אמריקאי, שבו ההימור משלם 35 ל־1. באיזו תדירות חייב המספר הנבחר לזכות כדי שזה יהיה נכון? וכמה מתוך 38 התאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← תחזית תצטרך לפסול, אם לכדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← היה סיכוי שווה לנחות בכל אחד מהנותרים?
הצג את הפתרון
תשובה פעם אחת בכל 25 סיבובים. זה שקול לפסילת 13 תאים ולהשארת 25.
אסימוןכסףאסימוןאסימון המייצג סכום קבוע, המונח על הפריסה כדי לבצע הימור. נקרא גם check.קראו את המאמר המלא ← זוכה חוזר עם 35 נוספים: 36 אסימונים. אם המספר זוכה פעם אחת בכל n סיבובים, n אסימונים שהונחו מחזירים 36, לכן ערך ההימור הוא 36/n − 1.
מציבים 0.44: 36/n = 1.44, לכן n = 25. ללא תחזית n הוא 38 וערך ההימור הוא 36/38 − 1 = −5.26%.
כעת נניח שתחזית פוסלת k תאים והכדור צפוי באותה מידה לנחות בכל אחד מ־38 − k האחרים. אסימון על אחד מהם זוכה פעם אחת בכל 38 − k סיבובים. כדי לקבל 44% דרוש 38 − k = 25, לכן k = 13: מעט יותר משליש הגלגל.
בספר מצוטט Farmer כאומר ש־40% נובעים מפסילת שמונה תאים. במודל הפשוט הזה שמונה נותנים 36/30 − 1 = 20%, לכן התמונה האמיתית ודאי לא הייתה אחידה: חלק מהתאים שנותרו היו סבירים בהרבה מאחרים.
תאים שנפסלותאים שנותרוערך הימור על מספר יחיד038−5.26%2360%830+20%1325+44%1919+89%נניח שהמספר שלכם אכן זוכה פעם אחת בכל 25 סיבובים ביחס 35 ל־1, יתרון של 44%. אתם מהמרים אסימון אחד בכל סיבוב. מה הסיכוי שתהיו בפיגור אחרי 100 סיבובים? ואחרי 500?
הצג את הפתרון
תשובה כ־23% אחרי 100 סיבובים ועדיין כ־6% אחרי 500.
אחרי 100 סיבובים הנחתם 100 אסימונים, וכל זכייה מחזירה 36. שתי זכיות מחזירות 72, הפסד של 28; שלוש מחזירות 108, רווח של 8. לכן אתם בפיגור אם זכיתם פעמיים או פחות.
הסיכוי לאף זכייה ב־100 סיבובים הוא (24/25)¹⁰⁰ = 1.7%. בדיוק זכייה אחת: 100 × (1/25) × (24/25)⁹⁹ = 7.0%. בדיוק שתיים: 4,950 × (1/25)² × (24/25)⁹⁸ = 14.5%. יחד 23.2%.
אחרי 500 סיבובים נדרשות 14 זכיות כדי להיות ברווח (14 × 36 = 504), והממוצע הוא 20. הסיכוי ל־13 זכיות או פחות הוא כ־6.2%.
זהו הצד האחר של הימור בעל סיכויים ארוכים. היתרון גדול, ובערך בריצה אחת של 100 סיבובים מתוך ארבע הוא אינו מתגלה. שחקן שאינו יודע בוודאות שהיתרון קיים אינו יכול להבדיל בין רצף גרוע למחשב מקולקל, וזה היה לעיתים קרובות מצבה של The Eudaemons.
סיבוביםניצחונות הנדרשים כדי להיות ברווחסיכוי להיות בפיגור50240.1%100323.2%200618.6%500146.2%בספר נאמר שעם יתרון של 44%, $100 המונחים 50 פעמים בשעה אמורים להכניס $2,200 בשעה. בדקו זאת. אחר כך חשבו מה הכניס אותו יתרון בסכומי ההימור שהקבוצה באמת שיחקה: דים אחד בכל סיבוב.
הצג את הפתרון
תשובה $2,200 נכונים עבור $100 בכל סיבוב. בדיים אחד בכל סיבוב מדובר ב־$2.20 בשעה.
יתרון הוא חלק מכל מה שהונח. ב־$100 לכל סיבוב וב־50 סיבובים בשעה מונחים $5,000, ו־44% מכך הם $2,200.
ב־10 סנט לסיבוב מונחים $5 בשעה, ו־44% מ־$5 הם $2.20. אפילו בכיסוי של ארבעה מספרים בדיים אחד לכל מספר, מדובר ב־$8.80 בשעה לשני אנשים.
הקבוצה שיחקה בסכומים נמוכים כי בנתה תקציב משחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← מאפס, וגם כי, כפי שהחידה למעלה מראה, יתרון של 44% ביחס 35 ל־1 עלול להפסיד במשך שעות. מחיר הזהירות היה שהשיטה יכלה לפעול באופן מושלם ועדיין לשלם פחות מעבודה.
הפוגה קומית
הפיזיקה עבדה. הניאון ניצח.
מקורות
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”
- Nevada Revised Statutes, chapter 465.