קריטריון קלי ורולטה
קריטריון קלי אומר למהמר בעל יתרון כמה להמר. ברולטה הוא נותן תשובה ברורה: כלום.
סכום ההימור של קלי = יתרון / סיכויים. כשהיתרון שלילי, הנוסחה מחזירה שבר שלילי, כלומר לא להמר. הקריטריון עדיין מועיל להבנת האופן שבו שחקני הטיה קבעו את גודל ההימורים שלהם, ומדוע כל היתר צריכים לקבוע גודל לפי תקציב.
הקריטריון
John Kelly (1956) שאל כיצד מהמר בעל יתרון ידוע צריך לקבוע את גודל ההימורים כדי למקסם צמיחה ארוכת טווח של תקציב המשחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ←. התשובה, להימור המשלם b ל־1 עם הסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← זכייה p והסתברות הפסד q = 1 − p, היא להמר את השבר f* = (bp − q) / b מתקציב המשחק. f* חיובי פירושו להמר את אותו שבר; אפס או שלילי פירושם לא להמר. Kelly עבד ב־Bell Labs, ומאמרו, “A new interpretation of information rate”, הציב את הבעיה בתורת המידע של Claude Shannon: מהמר המקבל עצות בקו רועש, בסיכויים הוגנים, יכול להצמיח את תקציב המשחק לכל היותר בקצב שבו הקו מעביר מידע. ב־1961 הוכיח Leo Breiman שהימורי קלי, בטווח הארוך, עולים על כל אסטרטגיה שונה באופן מהותי ומגיעים ליעד מוגדר בערך בזמן הקצר ביותר.
הימורי קלי ברולטה
לאדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ←: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. להימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ←: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. כל הימור סטנדרטי נותן שבר קלי שלילי, כי לכל הימור יתרון שלילי, וסכום ההימור המיטבי לצמיחה הוא אפס. הימורי קלי ברולטה הם דרך רשמית לומר את מה שאומר עמוד יתרון הבית: אין גודל שבו הימור עם תוחלת שלילית מצמיח תקציב משחק.
מקום שבו קלי כן חל
לשחקני הטיה היה יתרון ובעיית קביעת גודל. Jagger, בני הזוג García-Pelayo וה־Eudaemons נאלצו כולם להחליט כמה להמר על יתרונם הנמדד, והימור חסר מבזבז את היתרון בעוד הימור יתר מסכן בפשיטת רגל לפני שהיתרון מתבטא. עבור תאציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← שפוגע 1 מתוך 30, קלי אומר 0.57% מתקציב המשחק בכל סיבוב על המספר הזה: עם $10,000, כ־$57 לסיבוב, לצמיחה טיפוסית של כ־0.054% לסיבוב, או ×1.7 במשך 1,000 סיבובים. הרווח הממוצע כפול, 0.11% לסיבוב, אך קלי מכוון לתקציב המשחק הטיפוסי, לא לממוצע, שכמה רצפים בני מזל מנפחים. חצי קלי הוא הבחירה המעשית המקובלת, משום שהערכת היתרון אינה ודאית.
טיפוסי וממוצע
הפער בין תקציב המשחק הטיפוסי לממוצע רחב. קחו תא שפוגע 1 פעם מתוך 25, יתרון של 44%, הנתון ש־Thorp נותן למכשיר שלו. קלי מהמר עליו 1.26% מתקציב המשחק. לאחר 1,000 סיבובים תקציב המשחק הטיפוסי גדל בערך פי 11.5, ואילו הממוצע, שמושך מעלה מספר קטן של רצפים בני מזל מאוד, גדל בערך פי 249. הימור מעל קלי מעלה את הממוצע ומוריד את התוצאה הטיפוסית: בהימור כפול מסכום קלי, תקציב המשחק הטיפוסי רק מוכפל, ובפי שניים וחצי מסכום קלי הוא מתכווץ, אף שכל הימור עדיין נושא יתרון של 44%. הימור נמוך יותר עולה מעט: חצי מהסכום שומר בערך על שלושה רבעים מהצמיחה.
כשהיתרון הוא ניחוש
קלי מניח שהיתרון ידוע. בשולחן הוא מוערך, וההערכה בדרך כלל גבוהה מדי. הדוגמה של Epstein, הבנויה על 44% של Thorp, היא מספר שפגע 49 פעמים ב־1,225 סיבובים של גלגל בעל אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← כפול: 1 פעם מתוך 25, יתרון של 44%, סכום קלי של 1.26%. אבל בגלגל הוגן עם אפס כפול יש 38 מספרים, והמספר שמופיע הכי הרבה מגיע ל־49 או יותר ב־1,225 סיבובים בערך פעם אחת מתוך תשע. המספר הפעיל ביותר בכל תיעוד הוא גם זה שהמזל עזר לו ביותר, ולכן אפילו תא מוטה באמת נראה בתיעוד טוב יותר מכפי שהוא: קללת המנצח. אם התא הזה למעשה אינו מוטה, סכום קלי הוא פשוט הימור שמפסיד 5.26% בממוצע. התשובות המקובלות הן להמר חלק מקלי ולהמשיך לספור עד שהיתרון שורד תיעוד חדש (ראו כיצד לאתר הטיית גלגל).
אנשים עם יתרון
ידיעת היתרון אינה זהה לשימוש נכון בו. Haghani ו־Dewey (2016) נתנו ל־61 אנשים $25 לכל אחד כדי להמר במשך חצי שעה על מטבע שנאמר להם שיוצא עץ ב־60% מהפעמים, עם זכיות מוגבלות ל־$250 (השחקנים למדו על התקרה רק כשהגיעו אליה). קלי אומר להמר בכל פעם 20% מתקציב המשחק על עץ, והמחברים מעריכים שהימורים קבועים של 10–20% יגיעו לתקרה בערך ב־95% מהפעמים. רק 21% מהשחקנים הגיעו לשם. 28% פשטו רגל, 18 מתוך 61 הימרו הכול בהטלה יחידה, כשליש סיימו מתחת ל־$25 שבהם התחילו, ותשלום הזכייה נטוכסףתשלום זכייה נטותשלום הזכייה נטו שהימור זוכה מעניק, המצוין כ־״X ל־1״ נוסף על החזרת סכום ההימור.קראו את המאמר המלא ← הממוצע היה $91. רק חמישה מתוך 61 שמעו על קריטריון קלי. עם יתרון, גודל ההימורים קובע אם שומרים עליו; בלעדיו, כמו בגלגל הוגן, שום גודל אינו עוזר.
במה להשתמש במקום
ללא יתרון, קביעת הגודל היא שאלת תקציב, לא שאלת צמיחה: סכום ההימור = מה שמוכנים להוציא בכל סיבוב, הנגזר מהתקציב השעתי ומקצב השולחן (עמוד ניהול תקציב משחק). תרומתו של קלי לשחקן הרגיל היא בהירות תשובתו: אפס. כל מה שמהמרים מעל אפס הוא מחיר המשחק, שנבחר על ידכם, לא ממוטב בידי נוסחה כלשהי.
הערה על קלי חלקי ועל ״ניהול כסף״
שיטות הנמכרות כ״קלי לרולטה״ וממליצות על אחוז קבוע מתקציב המשחק לכל הימור הן הימור קבועאסטרטגיההימור קבועהימור על אותו סכום בכל סיבוב. קו הבסיס שכל התקדמות הימורים מושווית אליו.קראו את המאמר המלא ← עם סכום הימור מצטמק. הן מפסידות 2.70% מהמחזורכסףמחזורהסכום הכולל שהומר במשך מפגש משחק או תקופה, כולל זכיות שהומרו מחדש. נקרא גם handle, action.קראו את המאמר המלא ← ומאחר שסכום ההימור מצטמק עם ההפסד, הן הופכות פשיטת רגל לאיטית ולא לבלתי סבירה. זו דרך סבירה לגרום לתקציב להחזיק מעמד; זו אינה קלי, שהיה אומר להפסיק.
נוסחה
שאלות
רק עם יתרון מדוד מגלגל מוטהמעבדהגלגל מוטהגלגל שליקויים פיזיים בו הופכים תאים מסוימים לסבירים יותר מ־1/37. הוא נדיר, ואפשר לזהותו רק בעזרת אלפי סיבובים מתועדים.קראו את המאמר המלא ← או ממכשיר תזמון. לא בגלגל הוגן.
מפני שהערכת היתרון כוללת שגיאה, והימור יתר יקר מהימור חסר. חצי קלי נותן שלושה רבעים מהצמיחה ברבע מהשונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ←.
לא. קלי ממטב צמיחה בהינתן יתרון. ניהול תקציב משחק שולט בהוצאה בהיעדר יתרון.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
מכשיר התחזית של Thorp ו־Shannon נתן יתרון של כ־44%. על מספר יחיד חזוי, Kelly אומר להמר 1.26% מתקציב המשחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ←. מה אם אותו יתרון של 44% היה מגיע בהימור אחד המפוזר על פני חמישה מספרים שכנים?
הצג את הפתרון
תשובה אז Kelly אומר 7.1% מתקציב המשחק, ותקציב המשחק גדל כמעט פי שישה מהר יותר: בערך פי 1.25 מיליון לאורך 1,000 הימורים, לעומת בערך פי 11.5.
הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← עם יתרון של 44% זוכה בסיכוי 0.04, כי 36 × 0.04 = 1.44. סכום ההימור של Kelly הוא היתרון חלקי היחס: 0.44/35 = 1.26%. הגידול הטיפוסי להימור הוא 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, לכן 1,000 הימורים מכפילים את תקציב המשחק בערך ב־e^2.44 ≈ 11.5.
פזרו סכום הימור אחד על פני חמישה מספרים וההימור זוכה בסיכוי 0.20 ומשלם 36/5 עבור 1, כלומר 6.2 ל־1: עדיין יתרון של 44%, כי 0.2 × 7.2 = 1.44. סכום ההימור של Kelly נעשה 0.44/6.2 = 7.10%, והגידול להימור הוא 0.01404, בערך פי 5.75. לאורך 1,000 הימורים זה e^14.04, בערך 1.25 מיליון.
היתרון זהה; התנודות קטנות יותר. הימור שזוכה פעם אחת מתוך חמש יכול לשאת חלק גדול יותר מתקציב המשחק בלי להסתכן בפשיטת רגל, וגידול Kelly מתגמל על כך. Thorp (1984) משתמש בדוגמה כדי להראות מדוע שחקני תחזיות מהמרים על מגזריםגלגלמגזרקשת רצופה של תאים בגלגל, בשונה מקבוצה על הפריסה.קראו את המאמר המלא ←. בפועל, לחמישה שכניםהימורשכניםמספר ושני התאים מכל צד שלו בגלגל, חמישה אסימוני מספר יחיד.קראו את המאמר המלא ← יש יתרון מעט נמוך יותר מאשר למספר הטוב היחיד (ראו Advantage Play).
שחקן מצא שני תאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← שכנים שכל אחד מהם עולה 1 פעם בכל 25 במקום 1 פעם בכל 37. האם עליו להמר על ההימור המפוצלהימורהימור מפוצלשני מספרים סמוכים, משלם 17:1.קראו את המאמר המלא ← שביניהם ביחס 17 ל־1, או על כל מספר בנפרד? כמה אומר Kelly להמר, ובאיזו מהירות גדל תקציב המשחק לעומת תא אחד כזה?
הצג את הפתרון
תשובה אין הבדל: 2.59% מתקציב המשחק על ההימור המפוצל, או 1.29% על כל מספר. תקציב המשחק הטיפוסי גדל בערך פי 155 לאורך 1,000 סיבובים, לעומת פי 11.5 עם תא אחד.
ההימור המפוצל זוכה בהסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← 2/25 = 0.08 ומשלם 17 ל־1, לכן הוא מחזיר 18 × 0.08 = 1.44 לכל יחידהכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← שהונחה: יתרון של 44%, כמו תא מוטה אחד. סכום ההימור של Kelly הוא היתרון חלקי היחס: 0.44/17 = 2.59%.
שני הימורים על מספר יחיד, של 1.29% כל אחד, נותנים בדיוק אותן תוצאות. כשאחד המספרים עולה, אסימוןכסףאסימוןאסימון המייצג סכום קבוע, המונח על הפריסה כדי לבצע הימור. נקרא גם check.קראו את המאמר המלא ← אחד זוכה ביחס 35 ל־1 והאחר אובד, נטו של 34 × 1.29% = 44% מתקציב המשחק, כפי שמשלם ההימור המפוצל; כשאף אחד מהם אינו עולה, שניהם אובדים.
הגידול לכל סיבוב הוא 0.00505, לעומת 0.00244 עבור תא אחד, לכן לאורך 1,000 סיבובים תקציב המשחק הטיפוסי גדל e^5.046 ≈ 155 פעמים במקום e^2.44 ≈ 11.5 פעמים. שני מספרים טובים שווים הרבה יותר מפעמיים מספר אחד, ולכן שחקני הטיה מהמרים על קבוצות מספרים. Thorp (1984) עורך אותה השוואה.
הפוגה קומית
סכום ההימור המיטבי לצמיחה ברולטה הוא מספר שכולם כבר מכירים.
מקורות
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”