מחשבי רולטה
איך מחשב מתזמן את הכדור, מי בנה את הראשונים, וכמה מדויק הוא צריך להיות.
מחשב רולטה מתזמן את הכדור ואת הרוטור בשניות הראשונות של סיבוב ומציין את החלק בגלגל שבו הכדור אמור לנחות. Edward Thorp ו־Claude Shannon בנו את הראשון ב־1961, ו־The Eudaemons בנו מחשבים דיגיטליים משנת 1976. השיטה זקוקה להימורים המתקבלים לאחר השיגור: אולפנים חיים סוגרים כיום הימורים בשיגור, ו־Nevada אסרה מכשירים כאלה מאז 1985.
איך נבנתה מערכת מחשב הרולטה הראשונה
הרעיון עלה ל־Edward Thorp באביב 1955, כשהיה סטודנט לתואר שני בפיזיקה ב־UCLA: גלגל העשוי היטב מכדי להיות מוטה אמור לשלוח את ה־כדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← סביבו באופן צפוי כמו כוכב לכת. הוא צילם גלגל זול בחצי גודל עם שעון עצר בפריים וגילה שהוא בלתי סדיר מדי לחיזוי, ונסיעה ל־Nevada בדצמבר 1958 הראתה לו שגלגלי קזינו פעלו בחלקות. אחר כך הבלאק ג'ק השתלט. בנובמבר 1960, ב־MIT, הוא ביקש מ־Claude Shannon לשלוח את מאמר ספירת הקלפים שלו ל־National Academy of Sciences; בסוף הפגישה Shannon שאל על מה עוד הוא עובד, ופרויקט הרולטה עבר למרתף של Shannon. הם קנו גלגל תקני מ־Reno ב־$1,500, הציבו אותו על שולחן ביליארד ישן מצפחה, ותזמנו את הכדור מול אור סטרובוסקופי ושעון שנקרא עד מאית השנייה. בתרגול ירדו שגיאות התזמון שלהם מכ־0.03 ל־0.01 שניות. עד יוני 1961 היו במחשב שנים־עשר טרנזיסטורים והוא היה בגודל חפיסת סיגריות: מתג בנעל, שהופעל בבוהן הגדולה, תזמן את ה־רוטורציודרוטורהחלק המסתובב של הגלגל הנושא את התאים.קראו את המאמר המלא ← ואת הכדור, וצפצוף באוזן אחת ציין אחד משמונת המגזריםגלגלמגזרקשת רצופה של תאים בגלגל, בשונה מקבוצה על הפריסה.קראו את המאמר המלא ← בגלגל. ב־Las Vegas באותו קיץ Shannon תזמן ליד הגלגל ורשם מספרים ככל שחקן שיטה, בעוד Thorp הימר במטבעות דַּיְים בקצה הרחוק של השולחן. התחזיות החזיקו מעמד, אבל החוטים הדקיקים לאוזנייה המשיכו להיקרע, ופעם אישה שישבה ליד Thorp הביטה באימה ברמקול שבצבץ מאוזנו. הם מעולם לא הימרו ברצינות. Thorp הכריז על מערכת מחשב הרולטה ב־1966 ופרסם את הפרטים ב־1979 וב־1984.
המחשבים הדיגיטליים הראשונים
המכונה של Thorp ו־Shannon הייתה אנלוגית: המעגל שלה היה התוכנית שלה, ושינוי השיטה דרש חיווט מחדש. המיקרו־מעבד הסיר את המגבלה הזאת. Alan Lewis, סטודנט ב־Caltech, לקח מחשב דיגיטלי שנבנה בבית בתוך תיק מצלמה ל־Circus Circus ב־Las Vegas ב־1972, תזמן גלגלים ממרפסת מעל השולחנות ושידר תחזיות לשותף למטה. הוא פעל ולא הרוויח כסף; מאוחר יותר למד שהוא השמיט את נטיית הגלגל. משנת 1976 קבוצה של סטודנטים לפיזיקה ב־Santa Cruz, The Eudaemons, עשתה את העבודה ביסודיות. הם קנו גלגל קזינו, מדדו את הכדור, הרוטור, הנטייה והקפיצה, וכתבו משוואות עם חמש הגדרות שהשחקן כיוון לכל גלגל בלחיצה על מתגי בהונות במשך כעשרים דקות לפני ההימור. המחשב שלהם ציין אחד משמונה מגזרים כמה שניות לתוך הסיבוב. בשולחן אמיתי בינואר 1978 הוא נתן יתרון שהם העריכו ב־25%; החומרה, שנקשרה לגוף ולאחר מכן נבנתה בנעליים, כשלה לעיתים קרובות הרבה יותר מהפיזיקה (ראו The Eudaemons).
למה הימורים מאוחרים היו חשובים
קזינו יכול לעצור חיזוי לחלוטין בסירוב לקבל הימורים לאחר שיגור הכדור. Thorp גילה שכמעט אף אחד לא עשה זאת: ב־Reno, Las Vegas, London, Monte Carlo, Nice, Venice ו־Puerto Rico הנוהג המקובל היה לקרוא ״אין עוד הימוריםנוהלאין עוד הימוריםקריאת הדילר (או ההנחיה על המסך) הסוגרת את ההימורים. אין להניח, להזיז או להסיר אסימונים עוד.קראו את המאמר המלא ←״ הקפה או שתיים לפני נפילת הכדור. החלון הזה הוא מה שכל תוכנית חיזוי מאז נזקקה לו, מ־The Eudaemons ועד לקריאות המאוחרות של צוות Ritz על ה־מסלולשולחןמסלולרצועה סגלגלה בפריסות חיות ואלקטרוניות המציגה את המספרים בסדר הגלגל, ומשמשת להנחת הימורי שכנים ומגזר בהקשה אחת.קראו את המאמר המלא ←. Nevada הוציאה מכשירי חיזוי מחוץ לחוק במאי 1985, ואולפנים חיים סוגרים כיום הימורים בשיגור.
איך בתי קזינו נלחמו בחזרה
בשנים שבהן הימורים עדיין התקבלו לאחר השיגור, בתי קזינו נלחמו בשחקנים חשודים באמצעות הדילר. תיאורים של שחקני השיטה של Norman Leigh ב־Nice ב־1966 ושל צוותי חיזוי מאוחרים יותר מתארים קרופייהאנשיםקרופייההדילר בשולחן רולטה.קראו את המאמר המלא ← חדש בכל סיבוב, כדור מוחלף, סיבובים קצרים או מהירים, שולחן צפוף באנשי הקזינו עצמו, ולבסוף שולחן סגור. הסיפורים מגיעים מצד השחקנים וקשה לבדוק אותם (Goldman, 2007). הטקטיקות בכל זאת הגיוניות: סיבוב קצר או מהיר אינו יכול לכוון את הכדור ל־תאציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ←, אבל הוא משבש את התזמון שמנבא מודד.
עד כמה החיזוי חייב להיות טוב
Thorp (1984) חישב מה שווה תחזית כאשר שגיאתה מתפלגת לפי עקומת פעמון: בסיבוב טיפוסי התא החזוי סוטה ב־σ תאים לכאן או לכאן. הימרו על המספר החזוי לבדו, או עליו ועל שני שכניםהימורשכניםמספר ושני התאים מכל צד שלו בגלגל, חמישה אסימוני מספר יחיד.קראו את המאמר המלא ← מכל צד, והיתרון תלוי רק ב־σ. תחזית מושלמת הייתה זוכה בכל הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ←. ב־σ = 10 תאים, הדיוק שאליו הגיעו Thorp ו־Shannon, הימור יחיד מחזיר כ־+44%, הנתון ש־Thorp נותן למכשיר שלהם; תיאורו מ־1998 מציב אותו בשמינית המועדפת ביותר של הגלגל. היתרון יורד במהירות ככל שהשגיאה גדלה ונעלם בכ־17 תאים בגלגל אירופי וב־16 באמריקאי, כשהתחזית מחמיצה כמעט חצי גלגל. תקציב השגיאה של Thorp עצמו מראה למה הגבול קרוב: שגיאות נפרדות של 1.4 ו־5.5 תאים מתזמון הרוטור והכדור, 7 מנפילת הכדור דרך ה־מסיטיםציודמסיטאחד המכשולים המתכתיים במדרון המפזרים את הכדור הנופל. נקרא גם קאנו, יהלום או פין.קראו את המאמר המלא ← ו־6 מהקפיצה בתאים מצטרפות לכ־10.8.
שאלות
לא. אין כדור. המספר נמשך בתוכנה לפני ההנפשה.
הם היו פגיעים לתזמון, ולכן אף אחד מהם אינו מופעל כך.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
הימור שכניםהימורשכניםמספר ושני התאים מכל צד שלו בגלגל, חמישה אסימוני מספר יחיד.קראו את המאמר המלא ← מניח אסימוןכסףאסימוןאסימון המייצג סכום קבוע, המונח על הפריסה כדי לבצע הימור. נקרא גם check.קראו את המאמר המלא ← אחד על מספר ועל שני התאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← משני צדדיו בגלגל: חמישה אסימונים. באיזו תדירות תחזית חייבת לפגוע באחד מחמשת התאים האלה כדי להגיע לאיזון, ומה היא מכניסה אם היא צודקת פעם אחת מתוך חמש?
הצג את הפתרון
תשובה הוא מגיע לאיזון ב־5 מתוך 36, 13.9%, לעומת 13.5% במקרה בלבד. כשהוא צודק פעם אחת מתוך חמש, הוא מחזיר 44% יותר ממה שהונח.
אם ההימור פוגע, אסימון אחד זוכה ביחס 35 ל־1 וחוזר עם זכייתו, 36 אסימונים, וארבעת האחרים אובדים. לכן פגיעה מחזירה 36 תמורת 5 שהונחו, וההימור מגיע לאיזון אם הוא פוגע 5 פעמים מתוך 36, כלומר 13.9%. במקרה הוא פוגע 5 פעמים מתוך 37, 13.5%. הפער הקטן הזה, פחות מחצי נקודת אחוז, הוא מקור כל ה־2.70%.
בפגיעה אחת מתוך חמש, 0.2 × 36 = 7.2 אסימונים חוזרים על כל 5 שהונחו, +44%. באחת מתוך ארבע, +80%.
זו הסיבה שעלייה קטנה בדיוק שווה כל כך הרבה, ומדוע בתי קזינו סוגרים הימורים מוכרזיםשולחןהימור מוכרזהימור שמכריזים עליו לדילר במקום להניחו ביד, בדרך כלל הימור על מגזר בגלגל כמו voisins או tiers. נקרא גם ״הימור מוכרז״.קראו את המאמר המלא ← מוקדם בסכומי הימור גבוהים: הפער הקטן הזה הוא כל המרווח של הבית. לפי דיווחים, שחקני Ritz בשנת 2004 הימרו כך.
Thorp מנה ארבע שגיאות בלתי תלויות בתחזית שלו, בתאים: 1.4 מתזמון הרוטורציודרוטורהחלק המסתובב של הגלגל הנושא את התאים.קראו את המאמר המלא ←, 5.5 מתזמון הכדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ←, 7 מנפילת הכדור על פני ההמסיטיםציודמסיטאחד המכשולים המתכתיים במדרון המפזרים את הכדור הנופל. נקרא גם קאנו, יהלום או פין.קראו את המאמר המלא ← ו־6 מהקפיצה בתאים. מה הגודל הכולל, וכמה מוסיפות שתי שגיאות התזמון?
הצג את הפתרון
תשובה כ־10.8 תאים בסך הכול. ללא שגיאות התזמון זה היה 9.2, לכן שני התזמונים מוסיפים רק 1.6.
שגיאות בלתי תלויות אינן מצטברות ישירות; הריבועים שלהן כן. הגודל הטיפוסי של הסכום הוא השורש הריבועי של סכום הריבועים: 1.4² + 5.5² + 7² + 6² = 1.96 + 30.25 + 49 + 36 = 117.2, ו־√117.2 ≈ 10.8.
ללא שתי שגיאות התזמון: √(49 + 36) = √85 ≈ 9.2.
סך של 10.8 תאים נמצא בתוך גבול 17 התאים בטבלה שבדף זה ושווה כ־+34% על מספר יחיד. הלקח של Thorp היה: מרגע שהנפילה על פני המסיטים היא השגיאה הגדולה ביותר, תזמון טוב יותר קונה מעט.
הפוגה קומית
הפיזיקה עובדת. חלון ההימורים נסגר.
מקורות
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Goldman, N. Great Gambling Scams.
- Nevada Revised Statutes, chapter 465.