מבחן חי־בריבוע
המבחן המקובל לשאלה ״האם 37 הספירות האלה הן מה שגלגל הוגן היה מפיק?״
χ² = Σ (נצפה − צפוי)² / צפוי על פני כל 37 התאים. השוו להתפלגות חי־בריבוע עם 36 דרגות חופש כדי לקבל ערך p.
חישוב המבחן
הספירה הצפויה לכל תאציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← היא n/37. לכל תא, העלו בריבוע את ההפרש בין הנצפה לצפוי וחלקו בצפוי; חברו את 37 האיברים. גלגל הוגן נותן בממוצע ערכים סביב 36 (דרגות החופשמעבדהדרגות חופשמספר הערכים הבלתי תלויים בסטטיסטי. במבחן חי־בריבוע על 37 תאים הוא 36, מפני שהספירות חייבות להסתכם בסך הכול.קראו את המאמר המלא ←), עם סטיית תקןמתמטיקהסטיית תקןהשורש הריבועי של השונות; המרחק האופייני של תוצאה מהתוחלת.קראו את המאמר המלא ← של כ־8.5. ערך שמעל 51.0 מובהק ברמת 5%; מעל 58.6 ברמת 1%. כלי ניתוח הטיית הגלגל מחשב את הסטטיסטי ואת ערך ה־pמעבדהערך pההסתברות לראות סטייה גדולה לפחות כמו זו שנצפתה אילו הגלגל היה הוגן.קראו את המאמר המלא ← המדויק מפונקציית גמא לא שלמה מווסתת.
דוגמה מחושבת
1,000 סיבובים. שלושים ושישה תאים נופלים בין 20 ל־34 פגיעות; לתא 8 יש 41. הציפייה היא 27.03. האיבר של תא 8 לבדו הוא (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. נניח שסכום 36 האיברים האחרים הוא 38 (טיפוסי). χ² = 45.2 עם 36 df, p ≈ 0.14. אין מובהקות: גלגל הוגן עושה זאת פעם אחת מתוך שבע. תא 8 הוא מועמד, לא ממצא, והתשובה היא עוד אלף סיבובים.
הנחות
סיבובים בלתי תלוייםמתמטיקהסיבובים בלתי תלוייםלכל סיבוב אותן הסתברויות ללא תלות בהיסטוריה. הבסיס לכל חישוב באתר.קראו את המאמר המלא ←, וספירות צפויות של לפחות 5 לכל תא, כלומר n ≥ 185 כדי שהמבחן יהיה תקף בכלל והרבה יותר כדי שיהיה שימושי. איגום סיבובים מגלגלים שונים מפר את ההנחה הראשונה ברוחה (נבדקת תערובת, לא גלגל). השפעה של חתימת דילר הייתה מפרה אותה בפועל, והייתה מנפחת את χ² בלי שתא כלשהו מועדף פיזית.
Pearson ו־Monte Carlo
Karl Pearson פרסם את המבחן בשנת 1900, ואחת הדוגמאות המחושבות הראשונות שלו הייתה 26,306 סיבובי רולטה מתועדים מ־Monte Carlo, שלדעתו היו בלתי אחידים הרבה מכדי להיות מקריים, והוא הכריז כי ״הרולטה של Monte Carlo… אינה משחק מזל״. כותבים מאוחרים יותר הסיקו שהעיתונאים שתיעדו את הסיבובים עבור עיתון המציאו רבים מהם, וזהו לקח בפני עצמו על מקור הנתונים.
Pearson מפרסם את מבחן ההתאמה בחי־בריבוע, עם סיבובים מ־Monte Carlo כדוגמה.
נתוני הסיבובים מוטלים בספק; נראה שהמתעדים זייפו רצפים.
Fisher מנסח את דרגות החופש; מוסכמת 5% מתקבעת.
סטטיסטיקאים משתמשים בסיבובי רולטה כנתוני לימוד למבחני אחידות.
משפחת García-Pelayo מיישמת את השיטה עם נתונים מתועדים אמיתיים ומנצחת במדריד.
בתי קזינו מריצים את אותו מבחן על הגלגלים שלהם כתחזוקה שגרתית.
מבחן אמיתי: גלגלים אוטומטיים ב־Las Vegas
שחקנים חושדים לעיתים שגלגל אוטומטי מסיט את הכדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← מהימורים גדולים. ניתוח מ־2017 בחן את החשד בגלגלים חסרי דילר עם אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← כפול של Interblock בלאס וגאס, באמצעות הימור על קשת של חמישה מספרים שכנים, מסוג ההימור שעושה מתעד גלגלים. ב־299 סיבובים הקשת זכתה 29 פעמים לעומת 39.3 הצפויות, חסר שגלגל הוגן מייצר בכ־4% מהמקרים. מבחן החי־בריבוע על כל 38 התאים היה 45.29 עם 37 דרגות חופש: p = 16.5%. מדגם שני של 1,204 סיבובים בשלושה גלגלים נתן χ² = 34.79, p = 57%, ושום קשת, בכל גודל שנבדק, לא הייתה מובהקת. שני המדגמים יחד, 1,503 סיבובים, נתנו χ² = 41.75, p = 27%. המסקנה הייתה שאין ראיה להסטה. המדגם הראשון לבדו נראה חשוד; השני הוא שהכריע את השאלה.
מעבר לחי־בריבוע
לתא יחיד חשוד, מבחן בינומי חזק יותר. לקשת חשודה, מבחן z של מגזרגלגלמגזרקשת רצופה של תאים בגלגל, בשונה מקבוצה על הפריסה.קראו את המאמר המלא ← בדף ניתוח המגזרים. חי־בריבוע הוא המבחן הכולל: הוא אומר שמשהו אינו כשורה בלי לומר מה. השתמשו בו תחילה, ואז בדקו.
נוסחה
שאלות
סכום 37 הספירות חייב להיות n, לכן רק 36 מהן חופשיות להשתנות.
גלגל עם תא אחד ב־1/25 מתוך 10,000 סיבובים ייתן איבר לתא של כ־70 לבדו; χ² הרבה מעל 100, ו־p אפס למעשה.
מבחינה טכנית כן, עם 5.4 צפויים לכל תא. הוא לא יזהה דבר פחות מגלגל שתא אחד בו הודבק סגור.
הפוגה קומית
חברו את ההפתעות בריבוע. השוו עם 51.0.
מקורות
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”