אסטרטגיית פיבונאצ'י ברולטה
באסטרטגיית הרולטה פיבונאצ'י, סכומי ההימור עוקבים אחר 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… מתקדמים צעד אחד אחרי הפסד ושבים שני צעדים אחרי זכייה.
היא אינה מנצחת את הגלגל; שום תוכנית סכומי הימור אינה עושה זאת. היא עדינה יותר ממרטינגייל, ולכן שורדת רצפי הפסדים ארוכים יותר לפני הגעה למגבלה, ומתאוששת לאט יותר. ההפסד הצפוי הוא אותם 2.70% מהמחזור הכספיכסףמחזורהסכום הכולל שהומר במשך מפגש משחק או תקופה, כולל זכיות שהומרו מחדש. נקרא גם handle, action.קראו את המאמר המלא ←.
כיצד הסדרה נבנית
כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו.
לכן אחרי 8 ו־13 בא 21.
ציירו כל מספר כריבוע, והריבועים יתחברו: כל ריבוע חדש ארוך כשני הקודמים לו המונחים זה לצד זה. רבע מעגל לרוחב כל ריבוע מתחבר לספירלה.
צעדו לאורך הסדרה
הפסד מזיז צעד אחד ימינה. זכייה מחזירה שני צעדים אחורה.
סכומי ההימור והתוצאות נמדדים ביחידות של הימור הבסיס.
כיצד פועלת שיטת הרולטה פיבונאצ'י?
כתבו את מספרי פיבונאצ'יאסטרטגיהפיבונאצ'יהתקדמות הימורים העוקבת אחרי הרצף 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: צעד אחד קדימה אחרי הפסד, שני צעדים אחורה אחרי זכייה.קראו את המאמר המלא ←: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו. התחילו בראשון והימרו את מספר היחידותכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← הזה. הפסדתם, עברו צעד אחד ימינה. זכיתם, עברו שני צעדים שמאלה, או חזרו להתחלה אם אין מקום. זו השיטה כולה. הטבלה מציגה את עלות כל צעד: רצף הפסדים שנקטע בידי מגבלת השולחןשולחןמגבלת שולחןהימור מינימום ומקסימום מותרים. המקסימום הוא שעוצר התקדמויות הימורים של הכפלה.קראו את המאמר המלא ← או תקציב המשחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← שלכם מפסיד את סכום כל מה שהומר עד כה.
איך נראה מפגש משחק?
קחו בסיס של $10 ושמונה סיבובים: ה ה ז ה ה ה ז ז. סכומי ההימור הם 10, 10, 20 (זכייה, שני צעדים לאחור, לצעד 1), 10, 10, 20, 30 (זכייה, שני צעדים לאחור, לצעד 2), 10 (זכייה, חזרה להתחלה). הפסדתם: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. זכיתם: 20 + 30 + 10 = 60. חמישה הפסדים, שלוש זכיות, ואתם מאוזנים. זו המשיכה של השיטה. העלות כתובה באותה שורה: נדרשו הימורים בסך $120 כדי להגיע לכך, וכל דולר שהומר נושא את יתרון הביתמתמטיקהיתרון הביתהחלק מכל סכום ההימור שהקזינו שומר בממוצע: 2.70% ברולטה אירופית.קראו את המאמר המלא ←.
מדוע חוזרים שני צעדים ולא אחד?
מפני שזכייה אחת משלמת בדיוק על שני הפסדים. כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו, ולכן זכייה ב־5 יחידות מחזירה את ה־2 וה־3 שהפסדתם ממש קודם. חשבו על גרם מדרגות: צעד אחד למעלה על כל הפסד, שני צעדים למטה על כל זכייה. הצעד שאתם עומדים עליו הוא החוב שלכם. בצעד 5 אתם בפיגור של 7 יחידות, בצעד 8 בפיגור של 33, ובחזרה בצעד הראשון אתם מאוזנים בדיוק. רווח נובע רק מזכיות בצעד הראשון, יחידה אחת בכל פעם.
כשיש כמעט כמו זכיות כמו הפסדים, שני צעדים תמורת אחד נשמעים מציאה, ורוב הזמן המדרגות אכן מובילות למטה. המלכוד הוא שהצעדים נעשים גבוהים יותר ככל שעולים. עשר זכיות בצעד הראשון מניבות 10 יחידות. שלושה הפסדים בצעדים 6, 7 ו־8 עולים 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- חציון −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
האם שיטת פיבונאצ'י עובדת?
לא. לא כדרך לסיים ביתרון. החישוב זהה לכל שיטה: כל הימור מפסיד בממוצע 1/37 מסכום ההימור שלו, ולכן הרצף כולו מפסיד 1/37 מכל מה שהומר. השימוש בסדרת פיבונאצ'י ברולטה אינו משנה זאת, מפני שהגלגל משלם אותם סיכויים בלי קשר לגודל האסימוןכסףאסימוןאסימון המייצג סכום קבוע, המונח על הפריסה כדי לבצע הימור. נקרא גם check.קראו את המאמר המלא ←. סכומי ההימור של פיבונאצ'י נסחפים כלפי מעלה, ולכן היא מהמרת יותר בכל סיבוב מהימור קבועאסטרטגיההימור קבועהימור על אותו סכום בכל סיבוב. קו הבסיס שכל התקדמות הימורים מושווית אליו.קראו את המאמר המלא ←, וההפסד הצפוימתמטיקהההפסד הצפויתוחלת כפול הסכום הכולל שהומר; הסכום הממוצע שאובד במשך מפגש משחק או תקופה.קראו את המאמר המלא ← שלה לכל מפגש משחק גבוה יותר. מרטינגיילאסטרטגיהמרטינגיילהתקדמות הימורים המכפילה את ההימור אחרי כל הפסד. ראו בפרק האסטרטגיה מה היא עושה ומה אינה עושה.קראו את המאמר המלא ← מהמרת עוד יותר, ומפסידה יותר.
האם היא בטוחה יותר ממרטינגייל?
היא איטית יותר, וזה אינו אותו דבר. סכומי ההימור של פיבונאצ'י גדלים בכ־1.6× לכל צעד במקום ב־2×, ולכן מגבלה של $500 מגיעה אחרי כעשרה הפסדים רצופים מבסיס של $10 במקום שישה. זה הופך את המצוק לנדיר יותר: עשרה הפסדים רצופים בהימור ביחס שווה הם (19/37)¹⁰ ≈ 0.13%, לעומת (19/37)⁶ ≈ 1.8% לשישה. אבל המצוק גם גבוה יותר, מפני שבדרך אליו הומר יותר כסף, וזכייה יחידה אינה מבטלת אותו.
מהיכן באים המספרים?
מחידת ארנבות. Leonardo of Pisa, שלימים כונה Fibonacci, הציג אותה ב־Liber Abaci שלו משנת 1202: מתחילים בזוג אחד, נותנים לכל זוג להוליד זוג חדש בכל חודש החל מהחודש השני שלו, וסופרים את הזוגות. התשובה היא 1, 2, 3, 5, 8, 13. הוא לא היה הראשון שגילה את הכלל. חוקרים הודים של מקצב שירי העלו אותו על הכתב לפניו: Singh (1985) מייחס אותו ל־Virahanka, בין 600 ל־800, ואחר כך ל־Gopala ול־Hemachandra.
לאף אחד מהם לא היה גלגל בראש. המקורות המשמשים כאן אינם אומרים מי היה הראשון שהימר כסף לפי הסדרה. הם כן מראים שהחשבון שלה והחשבון של הרולטה אינם נפגשים: האחד אומר כיצד סכומי ההימור גדלים, האחר מה מחזיר כל סכום הימור.
כמה אובד אחרי רצף הפסדים?
שתי זהויות הופכות את בדיקת הטבלה שלמעלה לפשוטה. לאחר n הפסדים רצופים, הסכום הכולל שאבד הוא מספר פיבונאצ'י ה־(n + 2) פחות 1, שנותן 1, 2, 4, 7, 12, 20 וכן הלאה, וסכום ההימור הבא הוא מספר פיבונאצ'י ה־(n + 1). Bollman (2021) מוכיח באינדוקציה אותה תוצאה לסדרה המתחילה ב־1, 2, 3, מה שמזיז כל מספר מקום אחד. במגבלה של 500 יחידות מבסיס של 1 יחידה, מרטינגייל אינה יכולה לבצע את ההימור ה־10 שלה, 512 יחידות. פיבונאצ'י יכולה לבצע את ה־14, 377 יחידות, אך לא את ה־15, 610.
מה משתנה בתריסר או בטור?
בתריסרהימורתריסר1–12, 13–24 או 25–36, משלם 2:1.קראו את המאמר המלא ← או בטורהימורטורשנים־עשר מספרים בטור אנכי אחד של הפריסה, משלם 2:1.קראו את המאמר המלא ←, שמשלמים 2 ל־1, אין צורך לשוב לאחור. זכייה בסכום הימור F משלמת 2F, וזה תמיד יותר מכל מה שאבד קודם, ולכן כל זכייה מסיימת את הרצף ביתרון. המחיר הוא שתריסר זוכה רק 12 פעמים מתוך 37, ולכן רצפי הפסדים ארוכים שכיחים הרבה יותר: ארבעה־עשר הפסדי תריסר ברצף קורים בערך פעם ב־242 ניסיונות, לעומת פעם בכ־11,000 עבור אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ←.
מה אם עוצרים רק אחרי שתי זכיות רצופות?
גרסה אחרת מתקדמת צעד אחד אחרי כל סיבוב, זכייה או הפסד, ועוצרת רק אחרי שתי זכיות רצופות. עם n הפסדים לפני שתי הזכיות, הרווח הוא מספר פיבונאצ'י ה־(n + 1) ועוד 1: קטן כשהזכיות מגיעות מוקדם, גדול יותר כשהן מגיעות מאוחר, ומושג בסכומי הימור שגדלו בהתאם. זוג זכיות מוקדם תמיד מגיע בסכומי הימור קטנים; זוג מאוחר עשוי לדרוש הימור גדול בדיוק ברגע שמפגש המשחק הידרדר ביותר.
מדמה · פיבונאצ'י
2,000 מפגשי משחק של הימורים ביחס שווה מתוך תקציב משחק של $1,000.
הימור בסיס $10 · מגבלת שולחן $500 · 100 סיבובים למפגש משחק
באיזו תדירות מגיע רצף הפסדים
הימור ביחס שווה על גלגל בעל אפס יחיד מפסיד 19 סיבובים מתוך 37. כל שורה מציגה את ההסתברות שרצף נתון של סיבובים יסתיים כולו בהפסד, ואת הסכום ששחקן פיבונאצ'י, שמתקדם צעד אחד לאורך הסדרה אחרי כל הפסד, הפסיד עד אז.
| הפסדים ברצף | הסתברות | בערך 1 מתוך | הפסד עד כה | ההימור הבא |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26.4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13.5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7.0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1.8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0.94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0.48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0.25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0.13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $1,596 | $987 |
ההסתברות היא 19/37 כפול בעצמו פעם אחת לכל הפסד, החל מסיבוב נתון אחד. במפגש משחק ארוך יש סיבובים רבים שמהם יכול להתחיל רצף כזה, ולכן במהלך ערב הוא סביר הרבה יותר מכפי ששורה אחת מציעה.
שאלות
כן: מתקדמים אחרי זכייה וחוזרים אחרי הפסד. היא מתנהגת כמו פארוליאסטרטגיהפארוליהתקדמות הימורים חיובית: הכפלה אחרי זכייה, איפוס אחרי הפסד או אחרי שלוש זכיות רצופות. נקראת גם מרטינגייל הפוך.קראו את המאמר המלא ← איטית יותר.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
שחקו בגרסה שמתקדמת צעד אחד לאורך הסדרה אחרי כל סיבוב, זכייה או הפסד, ועוצרת אחרי שתי זכיות רצופות: סכומי ההימור הם 1, 1, 2, 3, 5, 8 וכן הלאה. ארבע־עשרה התוצאות הראשונות הן W L W L L L W L L L W L L W. מה המצב ומהו ההימור הבא?
הצג את הפתרון
תשובה ההפסד הוא 22 יחידותכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ←. ההימור הבא הוא 610 יחידות, וזכייה תסיים את מפגש המשחק ברווח של 588.
סכומי ההימור הם ארבעה־עשר המספרים הראשונים של פיבונאצ'יאסטרטגיהפיבונאצ'יהתקדמות הימורים העוקבת אחרי הרצף 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: צעד אחד קדימה אחרי הפסד, שני צעדים אחורה אחרי זכייה.קראו את המאמר המלא ←: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ו־377. מחברים את הזכיות ומחסרים את ההפסדים: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
התוצאה האחרונה הייתה זכייה, לכן עוד זכייה אחת מסיימת את מפגש המשחק. סכום ההימור הבא הוא 610: זכייה מותירה +588, הפסד מותיר −632 וההימור הבא יהיה 987.
הגרסה תמיד מסיימת ביתרה חיובית, אך כאן היא זקוקה להימור של 610 יחידות כדי לעשות זאת. לפי הכללים הרגילים, שלוקחים שני צעדים אחורה אחרי זכייה, אותן ארבע־עשרה תוצאות מותירות הפסד של 1 יחידה בלבד והימור הבא של 2. Bollman (2021), שמתחיל את הסדרה ב־1, 2, 3, מקבל הפסד של 1 והימור הבא של 3. הכללים הרגילים מפסידים פחות כאן מפני שכל זכייה מורידה את סכומי ההימור בחזרה.
סיבובסכום ההימורתוצאהסך מצטבר11ז+121ה032ז+243ה−155ה−668ה−14713ז−1821ה−22934ה−561055ה−1111189ז−2212144ה−16613233ה−39914377ז−22באותה גרסה, מדוע n הפסדים ואחריהם שתי זכיות תמיד מותירים רווח של המספר ה־(n + 1) בסדרת פיבונאצ'י ועוד 1?
הצג את הפתרון
תשובה סכום n ההפסדים הוא המספר ה־(n + 2) בסדרת פיבונאצ'י פחות 1, ושתי הזכיות הן שני המספרים הבאים, שסכומם עולה עליו במספר ה־(n + 1) ועוד 1.
נסמן F₁, F₂, F₃ … עבור 1, 1, 2, 3, 5 … כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו.
ההפסדים: F₁ + F₂ + … + Fₙ. מוסיפים 1 לסכום הזה, הנכתב F₂, והוא מתקפל: F₂ + F₁ = F₃, אחר כך F₃ + F₂ = F₄, וכך הלאה, עד שהסכום כולו הוא Fₙ₊₂. לכן סך ההפסדים הוא Fₙ₊₂ − 1.
הזכיות הן שני סכומי ההימור הבאים, Fₙ₊₁ ו־Fₙ₊₂. הרווח: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. עם ארבעה הפסדים מתקבל F₅ + 1 = 6 יחידות.
הפוגה קומית
יחס הזהב פוגש את שלט ההימור המרבי.
מקורות
- RouletteDoc. תיאור האסטרטגיה ודוגמאות.
- Roulette77. תיאור האסטרטגיה ודוגמאות.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.