בעיה: גלגל יום ההולדת
כמה סיבובים נדרשים עד שמספר כלשהו חוזר? הרבה פחות מכפי שרוב האנשים מנחשים.
בעיית יום ההולדת בגלגל בעל 37 תאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ←: לאחר 8 סיבובים בלבד יש סיכוי העולה על חצי שמספר כלשהו כבר הופיע פעמיים. שחקנים קוראים לחזרות תבניות; זו ההתנהגות הצפויה של גלגל הוגן.
הבעיה
סובבו גלגל אירופי הוגן. כמה סיבובים דרושים עד שההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← שלפחות שני סיבובים הראו אותו מספר עולה על חצי? רוב השחקנים מנחשים מקום כלשהו סביב 18 או 19, חצי מ־37. התשובה היא 8.
הפתרון
חשבו את ההסתברות שאין חזרה וחסרו מאחת. לאחר k סיבובים, p(הכול שונה) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). עבור k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, ולכן p(חזרה כלשהי) ≈ 0.56. עבור k = 14 הערך הוא 0.93; עבור k = 20 הוא 0.996. האינטואיציה נכשלת כי מספר זוגות הסיבובים גדל כמו k², וכל זוג יכול להתאים.
מדוע זה חשוב בשולחן
לוח תוצאות של 20 המספרים האחרונים כמעט תמיד יראה לפחות חזרה אחת, ולעיתים קרובות שתיים או שלוש. שחקנים רואים ״17 הופיע פעמיים בעשרה סיבובים״ ומסיקים ש־17 חם; חשבון ימי ההולדת אומר שחזרה בתוך עשרה סיבובים מתרחשת ב־74% מהפעמים ושהמספר החוזר אקראי. התבנית אמיתית; המשמעות אינה אמיתית.
בעיית ההמשך
כמה סיבובים דרושים עד שמספר מסוים, נניח 17, הופיע פעמיים? זו שאלה אחרת עם תשובה גדולה הרבה יותר: ההמתנה הצפויה היא 74 סיבובים, וההסתברות לשני מופעים של 17 בתוך 20 סיבובים היא כ־10%. ההבדל בין ״מספר כלשהו חוזר״ (8 סיבובים) ל״המספר הזה חוזר״ (74 סיבובים) הוא כל ההבדל בין תבנית שמבחינים בה לאחר מעשה לבין תחזית שעושים מראש.
נסו זאת
הריצו את משחק ההדגמה לעשרה סיבובים והביטו בהיסטוריה. בדרך כלל תהיה חזרה. הריצו שוב. המספר החוזר יהיה שונה. עשו זאת עשר פעמים וראיתם את בעיית יום ההולדתמתמטיקהבעיית יום ההולדתכמה אנשים נחוצים לפני שסביר שלשניים מהם אותו יום הולדת, או כמה סיבובים לפני שסביר שמספר חוזר. בגלגל של 37 תאים, 8 סיבובים מספיקים לסיכוי העולה על חצי.קראו את המאמר המלא ←; עשו זאת אלף פעמים (המדמים יכולים) ומדדתם אותה.
נוסחה
שאלות
בדיוק, עם 37 תאים במקום 365 ימים. 23 אנשים נותנים 50% לימי הולדת; 8 סיבובים נותנים 56% לגלגל.
50% לאחר בערך 19 סיבובים. עדיין שגרתי.
לא. אלפי סיבובים מגלגל אחד היו מרמזים; חזרה לעולם אינה מרמזת.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
לוח תוצאות לצד גלגל אמריקאי מציג את 16 הסיבובים האחרונים. מה ההסתברות שאף מספר לא מופיע בו פעמיים?
הצג את הפתרון
תשובה בערך 2.5%: בערך 39 לוחות מתוך 40 מציגים לפחות חזרה אחת.
התקדמו סיבוב אחר סיבוב. הסיבוב הראשון יכול להיות כל דבר. השני חייב להחמיץ אותו: 37 אפשרויות מתוך 38. השלישי חייב להחמיץ את שניהם: 36 מתוך 38. השישה־עשר חייב להחמיץ חמישה־עשר מספרים: 23 מתוך 38.
מכפילים: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
לוח ללא חזרה הוא החריג. לוח שיש בו חזרה אינו אומר דבר על הגלגל.
בעשרה סיבובים של גלגל אירופי, מה ההסתברות ש־17 ייצא בדיוק חמש פעמים? שמספר כלשהו, כל מספר, ייצא חמש פעמים או יותר? ושמספר כלשהו ייצא לפחות שלוש פעמים בארבעה סיבובים?
הצג את הפתרון
תשובה 17 בדיוק חמש פעמים: 1 ל־315,576. מספר כלשהו חמש פעמים או יותר: בערך 1 ל־8,333. מספר כלשהו לפחות שלוש פעמים בארבעה סיבובים: 1 ל־349.
17 חמש פעמים: בחרו אילו חמישה מעשרת הסיבובים, 252 אפשרויות, שלכל אחת הסתברות (1/37)⁵ × (36/37)⁵. יחד, 1 ל־315,576.
מספר כלשהו: לכל אחד מ־37 המספרים יש הסתברות של 1 ל־308,325 לחמש פגיעות או יותר, ולכן 37 ל־308,325, או 1 ל־8,333. המקרה הנדיר שבו לשני מספרים יש חמש פגיעות כל אחד נספר פעמיים, אך גריעתו אינה משנה דבר בדיוק הזה.
שלוש פעמים בארבעה סיבובים: עבור מספר אחד, 4 × 36 + 1 = 145 מתוך 37⁴ התוצאות האפשריות; עבור כל אחד מ־37 המספרים, 145/37³ = 1 ל־349.
בגלגל עם אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← כפול, הנתונים המקבילים הם 1 ל־359,275, 1 ל־9,243 ו־1 ל־368. הפער בין ״17״ ל״מספר כלשהו״ הוא שוב בעיית יום ההולדתמתמטיקהבעיית יום ההולדתכמה אנשים נחוצים לפני שסביר שלשניים מהם אותו יום הולדת, או כמה סיבובים לפני שסביר שמספר חוזר. בגלגל של 37 תאים, 8 סיבובים מספיקים לסיכוי העולה על חצי.קראו את המאמר המלא ←: יש 37 דרכים להיות מופתעים.
הפוגה קומית
משהו חוזר מוקדם. הדבר הזה אקראי.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.