סטיית תקן ברולטה
סטיית התקן ברולטה, השורש הריבועי של השונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ←, היא המרחק הטיפוסי בין תוצאה לתוחלת שלה.
לכל $1 שהומר, σ הוא 5.84 להימור על מספר יחיד ו־1.00 לאדום. עבור מפגש משחק, הכפילו בסכום ההימור ובשורש הריבועי של מספר הסיבובים.
כלל אצבע
כשני שלישים ממפגשי המשחק נופלים בתוך σ אחת מן התוחלת ו־95% בתוך שתיים. עבור 100 סיבובים של אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← ב־$10 (תוחלת של −$27, σ = $100), רוב מפגשי המשחק נופלים בין −$127 ל־+$73, וכמעט כולם בין −$227 ל־+$173. תוצאה שמחוץ לטווח הזה אינה ראיה לדבר, למעט העובדה שמפגש אחד מתוך עשרים עושה זאת.
למה √N
ההפסד הצפוימתמטיקהההפסד הצפויתוחלת כפול הסכום הכולל שהומר; הסכום הממוצע שאובד במשך מפגש משחק או תקופה.קראו את המאמר המלא ← גדל ביחס ל־N; הפיזור גדל ביחס ל־√N. עבור N קטן הפיזור שולט ומפגשי המשחק הם הטלות מטבע עם נטייה קלה. עבור N גדול ההפסד עוקף את הפיזור. נקודת המעבר, שבה ההפסד הצפוי שווה ל־סטיית תקןמתמטיקהסטיית תקןהשורש הריבועי של השונות; המרחק האופייני של תוצאה מהתוחלת.קראו את המאמר המלא ← אחת, היא N = (σ/edge)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 סיבובים ביחס שווה ו־(5.84/0.027)² ≈ 46,800 עבור הימורים על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ←. מתחת למספרים האלה המזל מחליט; מעליהם יתרון הבית.
שימוש בה
כדי לשפוט אם מפגש משחק היה חריג, חשבו (תוצאה − EV)/σ. מהמר של $10 על אדום שמסיים 100 סיבובים ב־+$150 נמצא ב־(150 + 27)/100 = 1.77σ, תוצאה של אחת ל־25: בר מזל, לא יוצאת דופן. מהמר על מספר יחיד באותם +$150 נמצא ב־0.3σ: ערב רגיל. אותה תוצאה בדולרים משמעותה דברים שונים בהימורים שונים.
שגיאת תקן של שיעור
אותה אריתמטיקה אומרת כמה סיבובים נדרשים כדי לראות את היתרון בנתונים. שגיאת התקן של שיעור הזכיות הנצפה היא √(p(1 − p)/N). עבור אדום עם N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%. הפער בין מטבע הוגן לאדום הוא 1.35%, לכן אחרי 1,000 סיבובים עדיין אי אפשר להבדיל ביניהם בביטחון. אחרי 10,000 שגיאת התקן היא 0.5% ואפשר. זו גם הסיבה שגילוי הטיית גלגל דורש כל כך הרבה סיבובים.
אזהרה על הטיה
תוצאות של הימור על מספר יחיד רחוקות מהתפלגות נורמלית במפגש משחק קצר: ברוב מפגשי המשחק מתקבל הפסד יציב של −$10 לסיבוב, עם קפיצות מזדמנות של +$350. כלל ±1σ מתאר נכון את הפיזור, אך מתאר גרוע את הצורה עד ש־N מגיע למאות. עבור הימורים ביחס שווההימורהימור ביחס שווהאדום/שחור, אי־זוגי/זוגי, גבוה/נמוך. 18 מספרים, משלם 1:1.קראו את המאמר המלא ← הקירוב הנורמלי טוב מכ־30 סיבובים.
נוסחה
שאלות
הוא הוכחה ששיחקת בערך 40 מפגשי משחק, או שהיית בר המזל באחד מתוך ארבעים. חזרו על כך.
הוא מתנדנד פחות ופחות: שגיאת התקן של הממוצע היא σ/√N. ב־N = 10,000 היא 1% מסכום ההימור.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
לאורך 100 סיבובים של גלגל אירופי, יחידהכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← אחת על אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← היא ברווח עם לפחות 51 זכיות, ויחידה אחת על הימור על מספר יחידהימורהימור על מספר יחידמספר יחיד, משלם 35:1.קראו את המאמר המלא ← היא ברווח אם המספר שלה עולה לפחות 3 פעמים. השתמשו בעקומת הפעמון כדי לאמוד את שני הסיכויים, ואז השוו אותם לתשובות המדויקות.
הצג את הפתרון
תשובה אדום: עקומת הפעמון נותנת 35.6% והתשובה המדויקת 35.5%. הימור על מספר יחיד: עקומת הפעמון נותנת 55.0% והתשובה המדויקת 50.9%. הקיצור עובד לאדום ומחטיא את המספר היחיד.
אדום: ממוצע הזכיות הוא 100 × 18/37 = 48.6, עם פיזור של √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0. רווח משמעו 51 או יותר; נקודת האמצע, 50.5, נמצאת 0.37 פיזורים מעל הממוצע, ועקומת הפעמון שמה 35.6% מעליה. חיבור ההסתברויות המדויקות של 51, 52 … 100 זכיות נותן 35.5%.
הימור על מספר יחיד: ממוצע הפגיעות הוא 100/37 = 2.70, עם פיזור של √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62. שלוש פגיעות או יותר משמען מעל 2.5, 0.12 פיזורים מתחת לממוצע: 55.0% לפי עקומת הפעמון. במדויק, זו 1 פחות ההסתברויות ל־0, 1 ו־2 פגיעות, 6.5% + 17.9% + 24.7%, שנותרות 50.9%.
עקומת הפעמון זקוקה לתוצאות רבות משני צדי הממוצע. לאדום יש אותן אחרי 100 סיבובים; למספר שעולה פחות משלוש פעמים בממוצע אין. העקומה אף נותנת 8.7% ל״ללא פגיעה״, כשהסיכוי האמיתי הוא 6.5%. Taylor (2021) מציג באותה דרך את הבינומית ואת עקומת הפעמון זו לצד זו.
הפוגה קומית
מפגש אחד מכל עשרים נמצא מחוץ לשתי סטיות תקן. מישהו תמיד נמצא בזנב ההתפלגות.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.