כשל המהמר
האמונה שתוצאה ״מגיעה״ מפני שלא הופיעה זמן מה.
אחרי עשרה אדומים ההסתברות לשחור עדיין 18/37. הגלגל אינו מנהל רישום ואינו חייב דבר.
הכשל
אם אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← יצא עשר פעמים, שחקנים רבים חשים ש־שחורהימורשחורהימור ביחס שווה על 18 המספרים השחורים. בצרפתית: noir.קראו את המאמר המלא ← ״מגיע״ ומהמרים בהתאם. אחרים חשים שאדום ״חם״ ומהמרים עליו. בשני המקרים מסיקים מרצף שכבר הסתיים על סיבוב שטרם קרה. הכדורציודכדורהכדור הקטן המשוגר לאורך המסלול נגד הרוטור. כדורים מודרניים עשויים ivorine או טפלון, בגודל 18–21 מ״מ.קראו את המאמר המלא ← אינו יודע מה היו עשרת הסיבובים האחרונים; התאיםציודתאאחד מ־37 התאים הממוספרים ברוטור. נקרא גם חריץ או גומה.קראו את המאמר המלא ← באותו גודל כפי שהיו לפני שעה; ההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← לשחור היא 18/37, כפי שתמיד הייתה.
למה זה מרגיש נכון
בטווח הארוך, שיעורי האדום והשחור אכן מתכנסים ל־18/37 כל אחד. חוק המספרים הגדוליםמתמטיקהחוק המספרים הגדוליםהממוצע של תוצאות בלתי תלויות מתכנס לתוחלת ככל שמספר הניסויים גדל.קראו את המאמר המלא ← מבטיח זאת. אבל ההתכנסות מתרחשת בדילול, לא בתיקון: אחרי 1,000 סיבובים נוספים, עשרת האדומים העודפים הם שגיאת עיגול בשיעור, לא מפני ששחור השיג אותם אלא מפני שהמדגם גדל. אין מנגנון שהופך שחור לסביר יותר, וחוק המספרים הגדולים אינו מחייב מנגנון כזה.
מונטה קרלו, 18 באוגוסט 1913
שחור יצא 26 פעמים ברצף בשולחן בקזינו דה מונטה־קרלו. החל בערך מהשחור החמישה־עשר, שחקנים הסתערו על אדום, הכפילו והכפילו שוב, כשכל סיבוב ״ודאי״ מקודמו. הקזינו הרוויח מיליוני פרנקים. לרצף הייתה הסתברות של 1 ל־137 מיליון החל מהשחור הראשון, וההסתברות שבסופו של דבר יתרחש במקום כלשהו בבתי הקזינו בעולם הייתה למעשה אחת. זו הסיבה שכשל המהמר נקרא גם כשל מונטה קרלו.
אינו חריג. קורה פעם אחת מתוך 44.
שחקנים מתחילים לשים לב. אדום ״מגיע״.
השולחן צפוף. סכומי ההימור על אדום מוכפלים אחרי כל הפסד.
הון יורד לטמיון. כל שחור חדש גורם לאדום להיראות ודאי יותר.
הרצף מסתיים. הקזינו זכה במיליוני פרנקים מאנשים שהימרו נגד רצף שלא יכול היה ״לדעת״ שהוא רצף.
היד החמה
הימור על צבע מפני שהוא ברצף הוא אותה טעות במהופך: מצפים שהרצף יימשך במקום שיסתיים. פסיכולוגים מכנים זאת היד החמהמיתוסיד חמההאמונה שרצף זכיות, או של תוצאה אחת, הופך תוצאה נוספת לסבירה יותר. בגלגל זהו כשל המהמר במהופך.קראו את המאמר המלא ←, בעקבות מחקר מ־1985 של Gilovich, Vallone ו־Tversky שחיפש רצפים בקליעות כדורסל ולא מצא כאלה מעבר למקריות. ב־2018 הראו Miller ו־Sanjurjo שהמבחן עצמו היה מוטה: ברישום קצר, שיעור הפגיעות מיד אחרי פגיעה יוצא בממוצע נמוך מהשיעור הכולל של הקולע, ולכן שחקן שאין לו יד חמה כלל נראה מעט קר. לאחר תיקון, אותם נתונים מראים יד חמה מתונה. אדם יכול להתחמם; גלגל אינו יכול להיות ״בכושר״. יש שחקנים שמחזיקים בשתי האמונות בו בזמן: שהרצף נמשך עד שהוא ״ארוך מדי״ ואז מסתיים. בגלגל הוגן, לכל גרסה אותה תוחלתמתמטיקהתוחלתהתוצאה הממוצעת לכל הימור בטווח הארוך. −1/37 מסכום ההימור בכל הימור אירופי רגיל.קראו את המאמר המלא ← כמו לבחירת צבע בהטלת מטבע: −2.70% מסכום ההימור.
בשולחן אמיתי
Croson ו־Sundali (2005) צפו ב־18 שעות של סרטוני אבטחה משולחן אחד בעל אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← כפול בקזינו גדול ברינו: 139 שחקנים שהניחו 24,131 הימורים. ב־הימורים ביחס שווההימורהימור ביחס שווהאדום/שחור, אי־זוגי/זוגי, גבוה/נמוך. 18 מספרים, משלם 1:1.קראו את המאמר המלא ←, השחקנים התחלקו בערך שווה בשווה בין הימור עם רצפים קצרים לבין הימור נגדם. אחרי חמישה מאותו סוג ברצף הם נטו נגד הרצף, ואחרי שישה או יותר, 85% מהימוריהם היו על הצד האחר. אותם שחקנים הפגינו את אפקט היד החמה גם ביחס לעצמם: אחרי זכייה על המספרים כיסו בממוצע 13.6 מספרים בסיבוב הבא, לעומת 9.2 אחרי הפסד. הגלגל שלהם לא הראה סימן להטיה, ולכן שום דבר מזה לא שינה את מה שכל אחד מהם יכול היה לצפות לו.
מחוץ לקזינו
אותה משיכה מופיעה במקומות שבהם מתקבלות החלטות אמיתיות. Clotfelter ו־Cook (1993) עקבו אחרי משחק המספרים היומי של מרילנד: סכום הכסף שהומר על מספר ירד בחדות מיד אחרי שעלה בגורל, ולקח חודשים להתאושש, אף שלהגרלה אין זיכרון. Chen, Moskowitz ו־Shue (2016) מצאו זאת בקרב בעלי מקצוע. שופטי מקלט בארצות הברית היו בסבירות גבוהה ב־3.3 נקודות אחוז לדחות תיק אם אישרו את הקודם. שופטי בייסבול היו בסבירות נמוכה יותר ב־1.5 נקודות להכריז על סטרייק אחרי שהכריזו על אחד, ויותר מפי שניים מכך בזריקות גבוליות. בניסוי שדה עם פקידי הלוואות ששולמו בשכר קבוע, עד 9% מההחלטות התהפכו כך. התיקים הגיעו בסדר אקראי, לכן ההחלטה האחרונה לא אמרה דבר על הבאה, כשם שהסיבוב האחרון אינו אומר דבר על הבא.
כשל המהמר ההפוך
הפילוסוף Ian Hacking (1987) כינה גרסה שלישית. אדם נכנס לחדר, רואה זוג קוביות נופל על דאבל שש ומסיק שהן בוודאי הוטלו פעמים רבות קודם לכן. לכל הטלה הסתברות שווה להיות דאבל שש, הראשונה בערב או האלפית, ולכן המראה אינו אומר דבר על משך המשחק. ברולטה זה השחקן שמגיע ללוח המציג שמונה אדומים ומחליט שהשולחן ודאי הסתובב שעות כדי להפיק אותם. הכשל הרגיל קורא את העבר אל הסיבוב הבא; זה קורא מראה נדיר אל עבר שאיש לא ראה.
פסיכולוג שהאמין בכך
לכשל היו מגינים מלומדים. הפסיכולוג הגרמני Karl Marbe עבר על ארבעה פנקסים של 49,152 לידות כל אחד, מצא שהרצף הארוך ביותר של בנים או בנות היה 17, והסיק שרצפים ארוכים נדירים יותר ממה שהמקריות מאפשרת, ולכן רצף הופך את התוצאה האחרת לסבירה יותר. המקריות לבדה אומרת אחרת: ב־196,608 לידות, רצף של 17 או יותר מופיע בערך ארבע פעמים מתוך חמש. Marbe מצא בדיוק כיצד נראה רצף אקראי. Epstein (2013) מספר מחדש את המקרה; הסתברות לרצפים נותנת את גרסת הרולטה.
היכן הכשל אינו חל
אם הגלגל היה מוטה פיזית, סיבובי עבר היו מעידים על דבר־מה, מפני שהיו ראיה על התאים ולא על מזל. זה נושא המעבדה, ונדרשים אלפי סיבובים מגלגל מזוהה אחד כדי לומר דבר כלשהו. עבור רצף של עשרה אדומים בגלגל לא מוכר, ההסבר של הטיה סביר הרבה פחות מההסבר המקרי.
שאלות
לא. הוא חל על כל אירוע חוזר ובלתי תלוי: קוביות, מטבעות, מספרי לוטו.
השיעורים יתקרבו. התוצאה שלך עדיין תהיה בערך −2.70% ממה שהימרת.
אין חוק ממוצעים. יש חוק מספרים גדולים, והוא פועל בדילול.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
אחרי 10 הטלות, מטבע מראה 7 עץ ו־3 פלי. אחרי 1,000 הטלות הוא מראה 517 עץ ו־483 פלי. האם הפלי הדביקו את הפער?
הצג את הפתרון
תשובה לא. הפער גדל מ־4 ל־34. רק היחס התקרב לשוויון.
יחס העץ לפלי ירד מ־7/3, בערך 2.33, ל־517/483, בערך 1.07. זהו חוק המספרים הגדוליםמתמטיקהחוק המספרים הגדוליםהממוצע של תוצאות בלתי תלויות מתכנס לתוחלת ככל שמספר הניסויים גדל.קראו את המאמר המלא ← בפעולה.
הפער ביניהם גדל, מ־4 ל־34. במטבע הוגן, פער של בערך 30 אחרי 1,000 הטלות הוא רגיל: הפער הטיפוסי גדל בקירוב עם השורש הריבועי של מספר ההטלות, בעוד היחס מתייצב לכיוון 1.
שום דבר לא משך את הפלי בחזרה. העודף המוקדם של עץ דולל ב־990 ההטלות הבאות, לא תוקן.
הטילו מטבע ארבע פעמים והביטו רק בהטלות המגיעות מיד אחרי עץ. איזה חלק מהן הוא עץ? חשבו זאת לכל אחד מ־16 הרצפים האפשריים וקחו את ממוצע החלקים. האם הוא 50%?
הצג את הפתרון
תשובה לא. הוא 17/42, בערך 40.5%. בהסתכלות הזאת, מטבע הוגן נראה כאילו הוא מתקרר אחרי עץ.
מנו את 16 הרצפים. בשניים מהם, פפפפ ופפפע, אין עץ בין שלוש ההטלות הראשונות, ולכן שום דבר אינו בא אחרי עץ; נותרו 14.
בכל אחד מהם, קחו את ההטלות שאחרי עץ ומצאו את חלקן שהן עץ. עעעע נותן 3 מתוך 3. עעעפ נותן 2 מתוך 3. עפעפ נותן 0 מתוך 2. במעבר על כל 14 הרצפים: שישה רצפים נותנים 0, ארבעה נותנים 1/2, אחד נותן 2/3 ושלושה נותנים 1 (עעעע, פעעע ופפעע).
מחברים את החלקים: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. מחלקים ב־14: 17/42 ≈ 40.5%.
אף הטלה אינה מעדיפה פלי; כל אחת היא 50–50. ההטיה נובעת מהממוצע רצף אחר רצף: רצף מלא בעץ מכיל הרבה הטלות לבחינה אך נספר פעם אחת, בדיוק כמו רצף שיש בו אחת בלבד. Miller ו־Sanjurjo (2018) הראו שמחקר ״היד החמה״ מ־1985 מדד כך את שחקני הכדורסל שלו, ולכן שחקנים שנראו לא רצפיים יותר מן המקרה היו למעשה רצפיים מעט יותר.
הפוגה קומית
דילול, לא תיקון. הגלגל אינו חייב דבר.
מקורות
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”