בעיה: מגבלת השולחן
מרטינגייל של $10 בשולחן עם תקרה של $500. באיזו תדירות הוא נשבר, כמה הוא מפסיד כשהוא נשבר, והאם העלאת התקרה עוזרת?
שישה הפסדים ברצף שוברים אותו: 1.8% לכל מחזור, בערך 60% ממפגשי המשחק של 100 סיבובים. השבירה עולה $630. העלאת התקרה ל־$5,000 הופכת את השבירה לנדירה יותר (0.25% לכל מחזור) וגדולה יותר ($5,110). ההפסד הצפוי לכל דולר שהומר הוא 2.70% בכל תקרה.
הבעיה
שחקן מהמר $10 על אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← ומכפיל לאחר כל הפסד, ומתאפס לאחר זכייה. התקרה בשולחן היא $500. (a) כמה הפסדים רצופים שוברים את התקדמות ההימוריםאסטרטגיההתקדמות הימוריםכל כלל המשנה את סכום ההימור על סמך תוצאות קודמות. התקדמויות הימורים שליליות מעלות אותו אחרי הפסדים, חיוביות אחרי זכיות.קראו את המאמר המלא ←? (b) מהי ההסתברותמתמטיקההסתברותההסתברות לתוצאה, מ־0 עד 1 או מ־0% עד 100%. מספר אחד: 1/37 = 2.70%.קראו את המאמר המלא ← לכל מחזור? (c) מה מפסידים בשבירה? (d) כיצד תקרה של $5,000 משנה את התשובות? (e) האם תקרה כלשהי הופכת את השיטה לרווחית?
פתרונות (a)–(c)
סכומי ההימור: 10, 20, 40, 80, 160, 320. השביעי היה 640 > 500, לכן שישה הפסדים שוברים אותה. (b) p(הפסד) = 19/37 על אדום; (19/37)⁶ = 0.0183, בערך 1.8% לכל מחזור. מחזור נמשך בממוצע כשני סיבובים, ולכן למפגש משחק של 100 סיבובים יש בערך 50 מחזורים ו־p(לפחות שבירה אחת) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, שהם 63 יחידותכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← בסיס, לעומת ה־$10 שהמחזור ניסה להרוויח.
פתרון (d)
ב־$5,000: מותרים סכומי הימור עד 2,560; סכום ההימור העשירי, 5,120, נדחה. תשעה הפסדים שוברים אותה: (19/37)⁹ ≈ 0.25% לכל מחזור, בערך 11% ממפגשי המשחק של 100 סיבובים. ההפסד בשבירה: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. השחקן קנה אסון נדיר יותר במחיר של אסון גדול יותר. על פני מפגשי משחק רבים העלות הצפויה של שבירות היא p × הפסד ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 לכל מחזור בתקרת $500 ו־0.0025 × 5,110 = $12.8 ב־$5,000; זה, בתוך עיגול, אותו מספר, והוא הההפסד הצפוימתמטיקהההפסד הצפויתוחלת כפול הסכום הכולל שהומר; הסכום הממוצע שאובד במשך מפגש משחק או תקופה.קראו את המאמר המלא ← של המחזור פחות ה־$10 שהמחזורים הזוכים מרוויחים.
פתרון (e)
לא. ההפסד הצפוי לכל מחזור = (סכום ההימור הכולל הצפוי במחזור) / 37, בכל תקרה, משום שכל הימור הוא −1/37 מעצמו. התקרה רק קובעת כיצד ההפסד מתחלק בין זכיות קטנות רבות להפסדים גדולים מעטים. ללא תקרה ועם תקציב משחקכסףתקציב משחקכל הסכום שמוקצה למשחק. ניהול תקציב משחק הוא ההחלטה כמה ממנו לסכן בכל הימור ובכל מפגש משחק.קראו את המאמר המלא ← אינסופי, ההתקדמות הייתה ״עובדת״, במובן שלעולם לא הייתה נשברת, והיא גם הייתה מהמרת סכום בלתי מוגבל עם הפסד צפוי של 2.70% מאותו סכום בלתי מוגבל. תקרת השולחןשולחןמגבלת שולחןהימור מינימום ומקסימום מותרים. המקסימום הוא שעוצר התקדמויות הימורים של הכפלה.קראו את המאמר המלא ← אינה מה שמונע ממרטינגיילאסטרטגיהמרטינגיילהתקדמות הימורים המכפילה את ההימור אחרי כל הפסד. ראו בפרק האסטרטגיה מה היא עושה ומה אינה עושה.קראו את המאמר המלא ← לעבוד. החשבון הוא מה שמונע זאת.
שני שולחנות אמיתיים
הדוגמה של Thorp היא שולחן של $1 עם מרב של $1,000, שבו שחקן מקווה להרוויח $30 לארוחת ערב דולר בכל פעם. סכומי ההימור 1, 2, 4 … 512 מאפשרים עשרה הימורים, ולכן עשרה הפסדים ברצף שוברים את ההתקדמות: פעם אחת בכל 785 מחזורים בגלגל אירופי (פעם אחת בכל 613 בגלגל אמריקאי), בעלות של $1,023. שלושים מחזורים מצליחים כולם ב־96.2% מהפעמים. ב־3.8% האחרים מפסידים בערך $1,000, והתוצאה הממוצעת של הערב היא −$9.17, בדיוק 1/37 מ־$339 ששלושים המחזורים מהמרים בממוצע. שולחן של $5 עם מרב של $2,000 אינו שונה: סכומי הימור עד $1,280 מאפשרים תשעה הימורים, והשבירה באה פעם אחת בכל 403 מחזורים בגלגל אירופי (פעם אחת בכל 323 בגלגל אמריקאי) ועולה $2,555.
שחקן עשיר
תנו להתקדמות תקציב משחק עמוק במקום תקרה נמוכה: 1,000 יחידות, בסיס של יחידה אחת ו־1,000 סיבובים על אדום, כאשר מתחילים שוב ביחידה אחת בכל פעם שההכפלה הבאה גדולה ממה שנותר. הדמינו מיליון ערבים כאלה. בגלגל אירופי 52% מסיימים ביתרה חיובית, 21% מפסידים הכול, והתוצאה הממוצעת היא −124 יחידות. אפילו במשחק ללא אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ←, שבו כל הימור הוגן, רק כ־60% היו מסיימים ביתרה חיובית. הערב הרגיל הוא זכייה קטנה; את הממוצע משלמים הערבים שמסתיימים באפס.
הלקח
בתי קזינו קובעים תקרות כדי להגביל את השונותמתמטיקהשונותמדד למידת הפיזור של תוצאות סביב התוחלת. גבוהה בהימור יחיד, נמוכה בהימורים ביחס שווה.קראו את המאמר המלא ← שלהם עצמם, לא כדי להביס שיטות. הבסת מרטינגייל היא תופעת לוואי שנוח להם שתהיה, והחשבון היה מביס אותה גם כך. שחקן החושב שהתקרה היא הבעיה איתר את המצוק וטעה לחשוב שהוא המדרון.
נוסחה
שאלות
הוא מאפשר לשרוד עד לתקרה גבוהה יותר, שבה השבירה נדירה וגדולה יותר. ההפסד הצפוי לכל דולר אינו משתנה.
סכומי ההימור הם 10, 30, 70, 150, 310: תקרת $500 מגיעה לאחר חמישה הפסדים, והשבירה עולה $570. אותם 2.70%.
כדי ששחקן יחיד לא יוכל להמר יותר מכפי שרזרבת הקזינו יכולה לשלם בנוחות. ניהול שונות.
כיף עם מתמטיקה
נסו לפתור את אלה בעצמכם תחילה. כל פתרון מקופל; פתחו אותו כשתהיו מוכנים.
שיטת מרטינגיילאסטרטגיהמרטינגיילהתקדמות הימורים המכפילה את ההימור אחרי כל הפסד. ראו בפרק האסטרטגיה מה היא עושה ומה אינה עושה.קראו את המאמר המלא ← מתחילה ב־$100 על אדוםהימוראדוםהימור ביחס שווה על 18 המספרים האדומים. בצרפתית: rouge.קראו את המאמר המלא ← ומרשה לעצמה לכל היותר n הימורים במחזור: אחרי n הפסדים רצופים היא מוותרת ומתחילה מחדש. כתבו את התוצאה הממוצעת של מחזור אחד כנוסחה ב־n, וחשבו אותה עבור 5, 6 ו־7 הימורים בגלגל אירופי.
הצג את הפתרון
תשובה הממוצע הוא 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 עבור 5 הימורים, −$17.35 עבור 6 ו־−$20.52 עבור 7. מתן אפשרות לעוד הימורים מחמיר את ממוצע המחזור, ולא משפר אותו.
מחזור זוכה ב־$100 אלא אם כל n ההימורים מפסידים, מה שקורה בהסתברות qⁿ, כאשר q = 19/37. כאשר כולם מפסידים, סכומי ההימור 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ מצטברים ל־100 × (2ⁿ − 1). לכן הממוצע הוא 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
כאן 2q = 38/37, מעט יותר מ־1, לכן (2q)ⁿ גדל עם n והממוצע יורד: n = 5 נותן 1.1426 ו־−$14.26; n = 6 נותן 1.1735 ו־−$17.35; n = 7 נותן 1.2052 ו־−$20.52. סולם ארוך יותר מפסיד לעיתים רחוקות יותר, ב־3.6%, 1.8% ו־0.9% מהמחזורים, אבל כל הפסד גדול פי שניים, ויותר כסף עובר על פני השולחן בכל מחזור, ב־2.70% מכל הימור.
בגלגל אמריקאי 2q = 40/38 והנתונים הם −$29.24, −$36.04 ו־−$43.20 (Taylor, 2021). במשחק ללא אפסגלגלאפסהתא הירוק היחיד שאינו מכוסה בשום הימור ביחס שווה, תריסר או טור; מקור יתרון הבית. נקרא גם אפס יחיד, 0.קראו את המאמר המלא ← 2q = 1, וכל מחזור ממוצעו בדיוק אפס, בלי תלות באורך הסולם.
ה״מרטינגייל הגדול״ מכפיל את סכום ההימור אחרי הפסד ומוסיף יחידהכסףיחידהסכום ההימור הבסיסי שבו משתמשים שיטה או שחקן. התקדמויות הימורים מתוארות ביחידות כדי שיחולו בכל שולחן.קראו את המאמר המלא ← אחת, ולכן סכומי ההימור הם 1, 3, 7, 15, 31 … כמה אתם ברווח כשהזכייה הראשונה מגיעה בהימור ה־1, ה־2, ה־3 או ה־k? ביחידה של $10 ובמקסימום $500, באיזו תדירות מחזור נשבר, ומה עלותו הממוצעת?
הצג את הפתרון
תשובה זכייה בהימור ה־k משאירה אתכם ברווח של k יחידות: +1, +2, +3 וכן הלאה. ב־$10 וב־$500 המחזור נשבר אחרי חמישה הפסדים, ב־3.57% מהמחזורים, תמורת −$570. בממוצע מחזור מפסיד $2.32 מתוך $85.73 שהונחו: 2.70%.
סכום ההימור ה־k הוא 2ᵏ − 1 יחידות: 1, 3, 7, 15, 31. סכומי ההימור הראשונים k − 1 מסתכמים ב־2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. זכייה בהימור ה־k משלמת 2ᵏ − 1, לכן המחזור מסתיים ב־(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k יחידות רווח: יחידה נוספת לכל הפסד לפני הזכייה.
ב־$10 ליחידה סכומי ההימור הם $10, $30, $70, $150 ו־$310; הבא, $630, מעל למקסימום $500. חמישה הפסדים ברצף, (19/37)⁵ = 3.57%, עולים 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
ממוצע: הזכיות מכניסות $10 × k בהסתברות (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 עבור k = 1 עד 5, והשבירה גובה $570 בהסתברות 3.57%; יחד −$2.32. הכסף שהונח עומד בממוצע על $85.73 למחזור, ו־2.32/85.73 = 2.70%. המרטינגייל הרגיל באותו שולחן נשבר אחרי שישה הפסדים, ב־1.83% מהמחזורים, תמורת −$630, ומפסיד $1.74 מתוך $64.20 שהונחו: שוב 2.70%.
שחקן מתכנן מרטינגייל על אדום עם הימור ראשון של $1 בשולחן שמגבלתו $1,000, לכן אפשריים עשרה הימורים: $1, $2, $4 וכן הלאה עד $512. באיזו תדירות מחזור מפסיד את כל העשרה, כמה זמן זה לוקח בממוצע, ובאיזו תדירות ערב של 200 הימורים מסתיים כך?
הצג את הפתרון
תשובה מחזור מפסיד את כל העשרה בערך פעם אחת ב־784, בעלות של $1,023. זה בערך 1,600 הימורים בממוצע, וערב של 200 הימורים פוגע בקיר בכ־11% מהמקרים. מחזור עדיין מפסיד בממוצע $0.31 מתוך $11.31 שהונחו: 2.70%.
הימור על אדום מפסיד בהסתברות 19/37, כולל האפס. עשרה ברצף: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, בערך 1 ל־784. סכומי ההימור 1 + 2 + 4 + … + 512 מצטברים ל־$1,023.
מחזור נמשך בממוצע 2.05 הימורים, לכן 784 מחזורים נמשכים בערך 1,600 הימורים. אם סופרים סיבוב אחר סיבוב, רצף של עשרה הפסדים מופיע במקום כלשהו ב־200 הימורים ב־11.3% מהמקרים.
בין האסונות השחקן זוכה ב־$1 למחזור: בערך $783 לפני הגרוע, ואז −$1,023, כלומר כ־−$240 לאורך כל הרצף. לכל מחזור: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. כסף שמונח למחזור: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. ו־−0.31/11.31 = −2.70%.
השוו הימור ראשון של $10 בגבול $500, שישה הימורים: הקיר מגיע פעם אחת ב־55 מחזורים, וערב של 200 הימורים פוגש אותו ב־84% מהמקרים. גבול גבוה יותר הופך את ההתרסקות לנדירה וגדולה יותר, לא לזולה יותר.
הפוגה קומית
נדיר וגדול יותר, בכל תקרה. המכפלה קבועה.
מקורות
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.